YOKOHAMAの8文字を並び替える順列について、以下の個数を求めます。 (1) 順列の総数 (2) AAとOOという並びをともに含む順列の数 (3) Y, K, H, M がこの順に並ぶ順列の数

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を並び替える順列について、以下の個数を求めます。

(1) 順列の総数

(2) AAとOOという並びをともに含む順列の数

(3) Y, K, H, M がこの順に並ぶ順列の数

2. 解き方の手順

(1) 順列の総数

YOKOHAMAの8文字には、Oが2つ、Aが2つ含まれています。したがって、順列の総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

$\frac{8!}{2!2!}$

(2) AAとOOという並びをともに含む順列の数

AAとOOをそれぞれ1つのまとまりとして考えます。すると、AA, OO, Y, K, H, M の6つの要素を並び替えることになります。したがって、順列の数は $6!$ です。

(3) Y, K, H, M がこの順に並ぶ順列の数

Y, K, H, M を全て同じ文字、例えばXとして考えます。すると、X, X, X, X, O, O, A, A の8文字を並び替えることになります。この並び替えの総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

$\frac{8!}{4!2!2!}$

Y, K, H, M をXに置き換えた後、左から順に Y, K, H, M に戻せば、Y, K, H, M がこの順に並ぶ順列の数となります。

3. 最終的な答え

(1) 順列の総数:

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$

10080 通り

(2) AAとOOという並びをともに含む順列の数:

$6! = 720$

720 通り

(3) Y, K, H, M がこの順に並ぶ順列の数:

$\frac{8!}{4!2!2!} = \frac{40320}{4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{40320}{96}=420$

840 通り

$\frac{8!}{4!2!2!} = \frac{8\times7\times6\times5}{2\times2} = 2\times7\times6\times5\times2 = 840$

840通り