8本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。同時に3本引くとき、ちょうど2本当たる確率を求めよ。

1. 問題の内容

8本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。同時に3本引くとき、ちょうど2本当たる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、8本から3本引く場合の総数を計算します。これは組み合わせの問題なので、$8C3$ で計算できます。

$$8C3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

次に、3本のうち2本が当たり、1本が外れとなる場合の数を計算します。

当たりくじ3本から2本を選ぶ組み合わせは、$3C2$ で計算できます。

$$3C2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$$

外れくじは8本中3本が当たりなので、5本です。その5本から1本を選ぶ組み合わせは、$5C1$ で計算できます。

$$5C1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$$

したがって、ちょうど2本当たる組み合わせの数は、$3C2 \times 5C1 = 3 \times 5 = 15$ となります。

最後に、確率を計算します。確率は、ちょうど2本当たる組み合わせの数を、全体の組み合わせの数で割ったものです。

$$P(\text{ちょうど2本当たる}) = \frac{3C2 \times 5C1}{8C3} = \frac{15}{56}$$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{56}$