候補者3人に対し、投票者8人が無記名投票を行う。1人1票を投票するとき、票の分かれ方の総数を求めよ。ただし、候補者は投票できないとする。

## 問題21

1. 問題の内容

候補者3人に対し、投票者8人が無記名投票を行う。1人1票を投票するとき、票の分かれ方の総数を求めよ。ただし、候補者は投票できないとする。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。

8個の票を3人の候補者に分配する方法の数を求めることになります。

重複組み合わせの公式を用いると、$n$個のものから$r$個を選ぶ重複組み合わせの数は、 $_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題では、$n = 3$ (候補者の数) であり、$r = 8$ (票の数) なので、票の分かれ方の総数は $_{3+8-1}C_8$ で計算できます。

$_{3+8-1}C_8 = _{10}C_8 = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

3. 最終的な答え

票の分かれ方の総数は45通りです。

## 問題22 (1)

1. 問題の内容

3枚の硬貨を同時に投げるとき、3枚とも表が出る確率を求めよ。提示されている考え方「(表、裏)の枚数について、(3,0), (2,1), (1,2), (0,3)の4通りがある。よって、3枚とも表が出る確率は $\frac{1}{4}$ である。」は誤っている。正しい考え方で確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題では、3枚の硬貨を区別して考える必要があります。

各硬貨は表か裏のどちらかが出るので、ありうる結果は全部で $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通りです。

3枚とも表が出るのは1通りだけです。 (表, 表, 表)

したがって、3枚とも表が出る確率は $\frac{1}{8}$ です。

3. 最終的な答え

3枚とも表が出る確率は $\frac{1}{8}$ です。

## 問題22 (2)

1. 問題の内容

2個のさいころを同時に投げるとき、目の積が偶数になる確率を求めよ。提示されている考え方「目の積が偶数になる確率は $\frac{1}{2}$ である。」は誤っている。正しい考え方で確率を求めよ。

2. 解き方の手順

2つのサイコロを区別して考える。

目の積が偶数になるのは、少なくともどちらか一方のサイコロの目が偶数である場合です。

目の積が奇数になるのは、両方のサイコロの目が奇数の場合だけです。

まず、目の積が奇数になる確率を計算します。

1つのサイコロで奇数の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。

2つのサイコロで両方とも奇数の目が出る確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ です。

したがって、目の積が偶数になる確率は、1から目の積が奇数になる確率を引いたものです。

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

目の積が偶数になる確率は $\frac{3}{4}$ です。

## 問題 (白玉と赤玉) (1)

1. 問題の内容

白玉6個と赤玉4個が入っている袋から、玉を同時に4個取り出すとき、白玉3個と赤玉1個が出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全部で10個の玉から4個を取り出す組み合わせの総数を計算します。

これは $_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ 通りです。

次に、白玉3個と赤玉1個を取り出す組み合わせの数を計算します。

白玉6個から3個を選ぶ組み合わせの数は $_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りです。

赤玉4個から1個を選ぶ組み合わせの数は $_{4}C_1 = \frac{4!}{1!3!} = 4$ 通りです。

したがって、白玉3個と赤玉1個を取り出す組み合わせの数は $20 \times 4 = 80$ 通りです。

求める確率は、白玉3個と赤玉1個を取り出す組み合わせの数を、4個の玉を取り出す組み合わせの総数で割ったものです。

確率は $\frac{80}{210} = \frac{8}{21}$ です。

3. 最終的な答え

白玉3個と赤玉1個が出る確率は $\frac{8}{21}$ です。

## 問題 (白玉と赤玉) (2)

1. 問題の内容

白玉6個と赤玉4個が入っている袋から、玉を同時に4個取り出すとき、4個すべてが赤玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全部で10個の玉から4個を取り出す組み合わせの総数は、(1)で計算したように $_{10}C_4 = 210$ 通りです。

次に、4個すべてが赤玉である組み合わせの数を計算します。

赤玉4個から4個を選ぶ組み合わせの数は $_{4}C_4 = \frac{4!}{4!0!} = 1$ 通りです。

求める確率は、4個すべてが赤玉である組み合わせの数を、4個の玉を取り出す組み合わせの総数で割ったものです。

確率は $\frac{1}{210}$ です。

3. 最終的な答え

4個すべてが赤玉である確率は $\frac{1}{210}$ です。