あるメーカーのポップコーン1袋の重さは100gを基準としている。1袋の重さの標準偏差は6gである。144袋を無作為に抽出して調査したところ、平均の重さは98.8gであった。1袋の平均の重さは100gではないと判断してよいか、有意水準5%で検定する問題です。

1. 問題の内容

あるメーカーのポップコーン1袋の重さは100gを基準としている。1袋の重さの標準偏差は6gである。144袋を無作為に抽出して調査したところ、平均の重さは98.8gであった。1袋の平均の重さは100gではないと判断してよいか、有意水準5%で検定する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、母平均の検定を行う問題です。

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定する。

帰無仮説 $H_0: \mu = 100$ （ポップコーン1袋の平均の重さは100gである）

対立仮説 $H_1: \mu \neq 100$ （ポップコーン1袋の平均の重さは100gではない）

(2) 検定統計量を計算する。

標本平均 $\bar{x} = 98.8$

母標準偏差 $\sigma = 6$

標本サイズ $n = 144$

検定統計量 $z$ は、

$$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$

与えられた値を代入すると、

$$z = \frac{98.8 - 100}{\frac{6}{\sqrt{144}}}$$

$$z = \frac{-1.2}{\frac{6}{12}}$$

$$z = \frac{-1.2}{0.5} = -2.4$$

(3) 有意水準 $\alpha = 0.05$ で、棄却域を決定する。

対立仮説が $H_1: \mu \neq 100$ であるため、両側検定を行う。

有意水準 $\alpha = 0.05$ より、棄却域は $z < -z_{\alpha/2}$ または $z > z_{\alpha/2}$ となる。

$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$

したがって、棄却域は $z < -1.96$ または $z > 1.96$ となる。

(4) 検定統計量と棄却域を比較する。

計算された検定統計量 $z = -2.4$ は、棄却域 $z < -1.96$ に含まれる。

(5) 結論を導く。

帰無仮説は棄却される。したがって、有意水準5%で、ポップコーン1袋の平均の重さは100gではないと判断できる。

3. 最終的な答え

ポップコーン1袋の平均の重さは100gではないと判断できる。