データ $2, 8, 1, 9, 4, a$ が与えられている。 (1) このデータの平均値が $7$ であるような $a$ の値を求める。 (2) このデータの平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

データ $2, 8, 1, 9, 4, a$ が与えられている。

(1) このデータの平均値が $7$ であるような $a$ の値を求める。

(2) このデータの平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均値を求める。データの総和をデータの個数で割る。

平均値は $7$ なので、以下の式が成り立つ。

$\frac{2 + 8 + 1 + 9 + 4 + a}{6} = 7$

これを解いて $a$ を求める。

(2) 平均値と中央値が等しくなるような $a$ の値を求める。

まず、与えられたデータを小さい順に並べ替える（$a$ を除く）。

$1, 2, 4, 8, 9$

$a$ の値によって中央値が変わってくるため、いくつかの場合分けをして考える。

- $a \le 1$ のとき：

データは $a, 1, 2, 4, 8, 9$ となり、中央値は $(2+4)/2 = 3$ となる。

平均値も $3$ である必要があるため、

$\frac{a + 1 + 2 + 4 + 8 + 9}{6} = 3$

$\frac{a + 24}{6} = 3$

$a + 24 = 18$

$a = -6$

これは $a \le 1$ を満たす。

- $1 < a \le 2$ のとき：

データは $1, a, 2, 4, 8, 9$ となり、中央値は $(2+4)/2 = 3$ となる。

平均値も $3$ である必要があるため、

$\frac{1 + a + 2 + 4 + 8 + 9}{6} = 3$

$\frac{a + 24}{6} = 3$

$a + 24 = 18$

$a = -6$

これは $1 < a \le 2$ を満たさない。

- $2 < a \le 4$ のとき：

データは $1, 2, a, 4, 8, 9$ となり、中央値は $(a+4)/2$となる。

平均値も $(a+4)/2$ である必要があるため、

$\frac{1 + 2 + a + 4 + 8 + 9}{6} = \frac{a+4}{2}$

$\frac{a + 24}{6} = \frac{a+4}{2}$

$2(a + 24) = 6(a + 4)$

$2a + 48 = 6a + 24$

$4a = 24$

$a = 6$

これは $2 < a \le 4$ を満たさない。

- $4 < a \le 8$ のとき：

データは $1, 2, 4, a, 8, 9$ となり、中央値は $(4+a)/2$となる。

平均値も $(4+a)/2$ である必要があるため、

$\frac{1 + 2 + 4 + a + 8 + 9}{6} = \frac{a+4}{2}$

$\frac{a + 24}{6} = \frac{a+4}{2}$

$2(a + 24) = 6(a + 4)$

$2a + 48 = 6a + 24$

$4a = 24$

$a = 6$

これは $4 < a \le 8$ を満たす。

- $8 < a \le 9$ のとき：

データは $1, 2, 4, 8, a, 9$ となり、中央値は $(4+8)/2 = 6$となる。

平均値も $6$ である必要があるため、

$\frac{1 + 2 + 4 + 8 + a + 9}{6} = 6$

$\frac{a + 24}{6} = 6$

$a + 24 = 36$

$a = 12$

これは $8 < a \le 9$ を満たさない。

- $9 < a$ のとき：

データは $1, 2, 4, 8, 9, a$ となり、中央値は $(4+8)/2 = 6$となる。

平均値も $6$ である必要があるため、

$\frac{1 + 2 + 4 + 8 + 9 + a}{6} = 6$

$\frac{a + 24}{6} = 6$

$a + 24 = 36$

$a = 12$

これは $9 < a$ を満たす。

(1) $\frac{2 + 8 + 1 + 9 + 4 + a}{6} = 7$ より

$24 + a = 42$

$a = 18$

3. 最終的な答え

(1) $a = 18$

(2) $a = -6, 6, 12$