2つの粒子が三角形ABCの頂点Aに時刻0に位置している。各粒子は独立に、1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動する。$n$を自然数として、時刻0から$n$秒後に2つの粒子が同じ点にいる確率を$p_n$とする。 (1) $p_1$を求めよ。 (2) $p_{n+1}$を$p_n$で表せ。 (3) $p_n$を$n$で表せ。

1. 問題の内容

2つの粒子が三角形ABCの頂点Aに時刻0に位置している。各粒子は独立に、1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動する。$n$を自然数として、時刻0から$n$秒後に2つの粒子が同じ点にいる確率を$p_n$とする。

(1) $p_1$を求めよ。

(2) $p_{n+1}$を$p_n$で表せ。

(3) $p_n$を$n$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $p_1$について

時刻0で2つの粒子はAにいる。1秒後、各粒子はBまたはCに移動する。

2つの粒子が同じ場所にいる確率は、両方ともBにいるか、両方ともCにいる場合である。

それぞれ確率$\frac{1}{2}$でBまたはCに移動するため、両方ともBにいる確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$、両方ともCにいる確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$である。

したがって、$p_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $p_{n+1}$を$p_n$で表す

$n$秒後に2つの粒子が同じ位置にいる確率が$p_n$である。

$n+1$秒後に同じ位置にいる確率は、$n$秒後に同じ場所にいる場合と、異なる場所にいる場合を考慮する必要がある。

* $n$秒後に同じ場所にいる場合:

確率$p_n$で同じ場所にいる。次の1秒で2つの粒子が異なる隣接頂点に移動すれば、同じ場所にとどまる。つまり、$p_n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + p_n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}= p_n\times \frac{1}{2}$.

* $n$秒後に異なる場所にいる場合:

確率$1-p_n$で異なる場所にいる。次の1秒で2つの粒子が同じ隣接頂点に移動すれば、同じ場所に来る。つまり、$(1-p_n)\times \frac{1}{2}$.

よって、$p_{n+1} = p_n \times \frac{1}{2} + (1-p_n) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ とならないため, 正しくない.

$n$秒後、2つの粒子が同じ場所にいる確率は$p_n$、異なる場所にいる確率は$1-p_n$である。

* $n$秒後、同じ場所にいる場合

$n+1$秒後に同じ場所にいるためには、それぞれが同じ頂点に移動する必要がある。

2つの粒子がいる頂点から、隣の頂点に移動する確率はそれぞれ$\frac{1}{2}$なので、同じ頂点に移動する確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

$n+1$秒後に同じ場所にいる確率は $p_n \times \frac{1}{2}$。

* $n$秒後、異なる場所にいる場合

$n+1$秒後に同じ場所にいるためには、それぞれが相手のいた頂点に移動する必要がある。

それぞれの頂点から相手のいた頂点に移動する確率は$\frac{1}{2}$なので、同じ頂点に移動する確率は$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。しかし、三角形の頂点であるため、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$と表すのは正しくない。

$n$秒後に異なる場所にいる場合、$n+1$秒後に同じ場所にいる確率は $(1-p_n) \times \frac{1}{2}$.

従って、$p_{n+1} = \frac{1}{2}p_n + \frac{1}{2}(1-p_n) = \frac{1}{2}$となるため, $p_n$が含まれないのはおかしい.

$p_{n+1} = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{3}$

(3) $p_n$を$n$で表す

$p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}$ より、

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}(p_n - \frac{1}{2})$

数列$\{p_n - \frac{1}{2}\}$は初項 $p_1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$, 公比$\frac{1}{3}$の等比数列。

よって、$p_n - \frac{1}{2} = (p_1 - \frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) \times (\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = 0 \times (\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2}$

$p_n = \frac{1}{2}$

$p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}$

$p_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3}(p_n - \alpha)$

$p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}\alpha$

$\frac{2}{3}\alpha = \frac{1}{3} \implies \alpha = \frac{1}{2}$

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}(p_n - \frac{1}{2})$

$p_n - \frac{1}{2} = (p_1 - \frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = (p_1 - \frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2}$

$p_n = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})(\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$p_n = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{1}{2}$

(2) $p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}$

(3) $p_n = \frac{1}{2}$