1つのサイコロを450回投げ、1または2の目が出る回数を$X$とする。$X$は二項分布に従う。 二項分布のパラメータ、期待値$E(X)$、分散$V(X)$、正規分布近似、確率$P(X \ge 140)$を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを450回投げ、1または2の目が出る回数を$X$とする。$X$は二項分布に従う。

二項分布のパラメータ、期待値$E(X)$、分散$V(X)$、正規分布近似、確率$P(X \ge 140)$を求める。

2. 解き方の手順

* **二項分布のパラメータを求める**:

1または2の目が出る確率は$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

したがって、$X$は二項分布$B(450, \frac{1}{3})$に従う。

したがって、1から5までの選択肢は1/3。答えは**1**。

* **期待値$E(X)$を求める**:

二項分布$B(n, p)$の期待値は$E(X) = np$。

$E(X) = 450 \times \frac{1}{3} = 150$。

したがって、6から8までの選択肢は150。答えは**7**。

* **分散$V(X)$を求める**:

二項分布$B(n, p)$の分散は$V(X) = np(1-p)$。

$V(X) = 450 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 100$。

したがって、9から11までの選択肢は100。答えは**10**。

* **正規分布近似**:

$X$は近似的に正規分布$N(E(X), V(X))$、$N(150, 100)$に従う。

したがって、12から16までの選択肢は$N(150, 100)$。答えは**13**と**14**。

* **確率$P(X \ge 140)$を求める**:

$Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}$とおくと、$Z$は標準正規分布$N(0, 1)$に従う。

$P(X \ge 140) = P(Z \ge \frac{140 - 150}{\sqrt{100}}) = P(Z \ge -1)$。

$P(Z \ge -1) = 1 - P(Z < -1) = 1 - P(Z > 1)$。

標準正規分布表から、$P(Z > 1) = 0.1587$。

$P(X \ge 140) = 1 - 0.1587 = 0.8413$。

したがって、17から20までの選択肢は0.8413に近い数値。この問題では答えは無い。もし選択肢が与えられているとしたら、最も近い値を選ぶことになります。

3. 最終的な答え

1: 1

6~8: 7

9~11: 10

12~16: 13と14

17~20: 与えられた選択肢の中に正解はない