確率変数 $X$, $Y$, $Z$ の確率分布が与えられており、いずれも同じ確率分布に従う。それぞれの変数が0または1の値を取り、その確率はそれぞれ $1/2$ である。このとき、$X+Y+Z$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$, $Y$, $Z$ の確率分布が与えられており、いずれも同じ確率分布に従う。それぞれの変数が0または1の値を取り、その確率はそれぞれ $1/2$ である。このとき、$X+Y+Z$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

$X$, $Y$, $Z$ の期待値 $E[X]$, $E[Y]$, $E[Z]$ は、それぞれ以下の式で計算できる。

$E[X] = E[Y] = E[Z] = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

期待値の線形性より、$X+Y+Z$ の期待値 $E[X+Y+Z]$ は、それぞれの期待値の和で表される。

$E[X+Y+Z] = E[X] + E[Y] + E[Z]$

上記で求めた $E[X]$, $E[Y]$, $E[Z]$ の値を代入する。

$E[X+Y+Z] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$E[X+Y+Z] = \frac{3}{2}$