1つのサイコロを5回投げて、2以下の目が出る回数をXとする。 Xがどのような二項分布に従うか答え、以下の確率を求めます。 (1) $P(X=2)$ (2) $P(X=5)$ (3) $P(2 \le X \le 4)$

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げて、2以下の目が出る回数をXとする。

Xがどのような二項分布に従うか答え、以下の確率を求めます。

(1) $P(X=2)$

(2) $P(X=5)$

(3) $P(2 \le X \le 4)$

2. 解き方の手順

まず、Xが従う二項分布を特定します。

サイコロを1回投げて2以下の目が出る確率は $1/3$ です。

よって、Xは二項分布 $B(5, 1/3)$ に従います。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

で与えられます。ここで、$n$は試行回数、$k$は成功回数、$p$は成功確率です。

(1) $P(X=2)$ を計算します。

$n=5$, $k=2$, $p=1/3$ を代入すると、

$P(X=2) = {}_5 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3$

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X=2) = 10 \times (\frac{1}{9}) \times (\frac{8}{27}) = \frac{80}{243}$

(2) $P(X=5)$ を計算します。

$n=5$, $k=5$, $p=1/3$ を代入すると、

$P(X=5) = {}_5 C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0$

${}_5 C_5 = 1$

$P(X=5) = 1 \times (\frac{1}{243}) \times 1 = \frac{1}{243}$

(3) $P(2 \le X \le 4)$ を計算します。

$P(2 \le X \le 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$

$P(X=2) = \frac{80}{243}$ はすでに計算済みです。

$P(X=3) = {}_5 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 = 10 \times (\frac{1}{27}) \times (\frac{4}{9}) = \frac{40}{243}$

$P(X=4) = {}_5 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times (\frac{1}{81}) \times (\frac{2}{3}) = \frac{10}{243}$

$P(2 \le X \le 4) = \frac{80}{243} + \frac{40}{243} + \frac{10}{243} = \frac{130}{243}$

3. 最終的な答え

Xは二項分布 $B(5, 1/3)$ に従う。

(1) $P(X=2) = \frac{80}{243}$

(2) $P(X=5) = \frac{1}{243}$

(3) $P(2 \le X \le 4) = \frac{130}{243}$