2つのサイコロA,Bを同時に投げ、出た目をそれぞれ$a, b$とする。方程式$5x - ab = 1$の解$x$が整数となる確率を求める。

1. 問題の内容

2つのサイコロA,Bを同時に投げ、出た目をそれぞれ$a, b$とする。方程式$5x - ab = 1$の解$x$が整数となる確率を求める。

2. 解き方の手順

$5x - ab = 1$ を $x$ について解くと、

$5x = ab + 1$

$x = \frac{ab + 1}{5}$

$x$が整数となるためには、$ab + 1$が5の倍数である必要がある。つまり、$ab + 1 \equiv 0 \pmod{5}$、または$ab \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$ が成り立つ必要がある。

$a$ と $b$ はそれぞれ1から6までの整数であるから、考えられる全ての組み合わせは$6 \times 6 = 36$通り。

$ab \equiv 4 \pmod{5}$ となる組み合わせを考える。

$ab$ の値を5で割った余りが4になる組み合わせを探す。

- $a=1$ のとき、$b \equiv 4 \pmod{5}$ より $b=4$

- $a=2$ のとき、$2b \equiv 4 \pmod{5}$ より $b \equiv 2 \pmod{5}$ より $b=2$

- $a=3$ のとき、$3b \equiv 4 \pmod{5}$ より $6b \equiv 8 \pmod{5}$、つまり $b \equiv 3 \pmod{5}$ より $b=3$

- $a=4$ のとき、$4b \equiv 4 \pmod{5}$ より $b \equiv 1 \pmod{5}$ より $b=1$

- $a=5$ のとき、$5b \equiv 4 \pmod{5}$ より $0 \equiv 4 \pmod{5}$ となるので、解なし。

- $a=6$ のとき、$6b \equiv 4 \pmod{5}$ より $b \equiv 4 \pmod{5}$ より $b=4$

上記の組み合わせに加えて、$a, b$の値を入れ替えた場合も考慮する必要がある。ただし、$a=b$の場合は重複するので注意する。

$a=1, b=4$ のとき、$ab = 4$

$a=2, b=2$ のとき、$ab = 4$

$a=3, b=3$ のとき、$ab = 9$

$a=4, b=1$ のとき、$ab = 4$

$a=6, b=4$ のとき、$ab = 24$

上記の組み合わせは (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (6,4), (4,6) の6通りである。

$a=4,b=6$のとき、$4 \cdot 6 = 24 \equiv 4 \pmod{5}$ なのでこれも条件を満たす。

$a=6,b=4$のとき、$6 \cdot 4 = 24 \equiv 4 \pmod{5}$ なのでこれも条件を満たす。

求める確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$