ある都市の1日の最低気温を20日間測定した結果の度数分布表が与えられています。 (1) 表の空欄を埋める。 (2) 度数分布表から中央値、最頻値、平均値、分散を求める。 (3) さらに10日間観測した結果の平均値と分散が与えられたとき、30日間の平均値と分散の変化を答える。

1. 問題の内容

ある都市の1日の最低気温を20日間測定した結果の度数分布表が与えられています。

(1) 表の空欄を埋める。

(2) 度数分布表から中央値、最頻値、平均値、分散を求める。

(3) さらに10日間観測した結果の平均値と分散が与えられたとき、30日間の平均値と分散の変化を答える。

2. 解き方の手順

(1)

度数の合計が20なので、空欄の度数を $x$ とすると $7+9+6+x+1 = 20$ より、$x = 20 - 23 = -3$ となることはあり得ません。相対度数を計算して度数を求めます。

0〜2の相対度数は5なので、度数は $20 \times \frac{5}{100} = 1$ (ア)

6〜8の度数を $x$ とすると、相対度数の合計が100になるので、$5+45+30+y+5=100$ より、$y=15$ (ウエ)なので、$20 \times \frac{15}{100} = 3$ (イ)

(2)

中央値はデータを小さい順に並べたときの中央の値です。度数分布表では、累積度数を用いて考えます。

0〜2: 1

2〜4: 1 + 9 = 10

4〜6: 10 + 6 = 16

6〜8: 16 + 3 = 19

8〜10: 19 + 1 = 20

中央値は10番目と11番目のデータの平均値なので、2〜4の階級に含まれることがわかります。

よって中央値は、2〜4の範囲の中央の値である3℃と考えられます。中央値が属する階級は2〜4なので、中央値は3℃。

最頻値は度数が最も多い階級の値です。度数が最も多いのは2〜4の階級で、その度数は9です。したがって最頻値は、2〜4の階級の中央の値である3℃です。

平均値は、各階級の中央の値に度数を掛けたものを合計し、度数の合計で割ることで求められます。

平均値 = $\frac{1 \times 1 + 3 \times 9 + 5 \times 6 + 7 \times 3 + 9 \times 1}{20} = \frac{1+27+30+21+9}{20} = \frac{88}{20} = 4.4$ ℃

分散は、各データの値から平均値を引いたものの二乗を合計し、データの個数で割ることで求められます。

ここでは、各階級の中央の値を各階級のデータとみなして計算します。

分散 = $\frac{1 \times (1-4.4)^2 + 9 \times (3-4.4)^2 + 6 \times (5-4.4)^2 + 3 \times (7-4.4)^2 + 1 \times (9-4.4)^2}{20} = \frac{(1 \times 11.56) + (9 \times 1.96) + (6 \times 0.36) + (3 \times 6.76) + (1 \times 21.16)}{20} = \frac{11.56+17.64+2.16+20.28+21.16}{20} = \frac{72.8}{20} = 3.64$

小数第2位を四捨五入して、3.6

(3)

最初の20日間の平均値は4.4℃でした。追加の10日間の平均値は5℃です。30日間の平均値を計算します。

30日間の平均値 = $\frac{20 \times 4.4 + 10 \times 5}{30} = \frac{88+50}{30} = \frac{138}{30} = 4.6$ ℃

最初の20日間の分散は3.64でした。追加の10日間の分散は1でした。30日間の分散を厳密に求めるのは難しいですが、おおよその傾向を考えます。

追加の10日間のデータは、元の20日間のデータよりも平均値に近い値(5)なので、全体として分散は減少すると考えられます。

3. 最終的な答え

(1) ア: 1, イ: 3, ウエ: 15

(2) オ: 3, カ: 3, キ.ク: 4.4, ケ.コ: 3.6

(3) サ.シ: 4.6, ス: ②