5人でじゃんけんをするとき、以下の確率を求めます。 (1) 1回のじゃんけんで、3人が勝ち、2人が負ける確率 (2) 1回のじゃんけんで、あいこになる確率

1. 問題の内容

5人でじゃんけんをするとき、以下の確率を求めます。

(1) 1回のじゃんけんで、3人が勝ち、2人が負ける確率

(2) 1回のじゃんけんで、あいこになる確率

2. 解き方の手順

(1) 3人が勝ち、2人が負ける確率

まず、全体の場合の数を考えます。5人がそれぞれグー、チョキ、パーの3通りの出し方をするので、全体の場合の数は $3^5 = 243$ 通りです。

次に、3人が勝ち、2人が負ける場合を考えます。

まず、誰が勝つかを選びます。5人の中から3人を選ぶので、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

次に、勝つ手がグー、チョキ、パーのどれであるかを考えます。これは3通りです。

勝つ手が決まれば、負ける手も自動的に決まります。例えば、勝つ手がグーなら、負ける手はチョキです。

したがって、3人が勝ち、2人が負ける場合の数は $10 \times 3 = 30$ 通りです。

したがって、求める確率は $\frac{30}{243} = \frac{10}{81}$ です。

(2) あいこになる確率

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、3種類の手すべてが出ている場合です。

全員が同じ手を出す場合：

全員がグー、全員がチョキ、全員がパーの3通りです。

3種類の手すべてが出ている場合：

まず、手の組み合わせを考えます。

3種類の手すべてが出るのは、例えば、グー1人、チョキ2人、パー2人などです。

手の組み合わせを考えると以下の3パターンが考えられます。

- 1人, 1人, 3人

- 1人, 2人, 2人

1人, 1人, 3人の場合：

まず、3人の手を決めます。3通り。

次に、3人を選ぶ必要がありますが、選ぶ必要はない。

次に、1人,1人を選びます。${}_5C_3 \times {}_2C_1 \times {}_1C_1 = 10 \times 2 \times 1= 20$

最後に、残りの2人の手を決めます。2通り。

よって、$3 \times 20 = 60$通り。

1人, 2人, 2人の場合：

まず、手を決めます。3通り。

1人の手は3パターンあるので、3。

2人の手は残りの2パターン。

2,2の並び替えは考えない。

${}_5C_1 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 = 5 \times \frac{4\times3}{2} \times 1 = 30$

よって、$3 \times 30 = 90$通り。

3種類の手が出る場合は、 $60 + 90 = 150$通り. これは重複があるため正しくない。

あいこになるのは、全員の手が同じ場合と、グー、チョキ、パーの3種類の手がすべて出ている場合です。

全体 $3^5=243$通り

全員同じ $3$通り

勝者が決まる場合（1人のみが勝つ）:

$3 \times {}_5C_1 = 15$通り

勝者が決まる場合（2人のみが勝つ）:

$3 \times {}_5C_2 = 30$通り

勝者が決まる場合（3人のみが勝つ）:

$3 \times {}_5C_3 = 30$通り

勝者が決まる場合（4人のみが勝つ）:

$3 \times {}_5C_4 = 15$通り

勝者が決まる場合（5人のみが勝つ）:

$3 \times {}_5C_5 = 3$通り

$243 - (3 + 15 + 30 + 30 + 15 + 3) = 243 - 96 = 147$

あいこになる確率は $\frac{147}{243} = \frac{49}{81}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{81}$

(2) $\frac{49}{81}$