確率変数$X$と$Y$が互いに独立であるとき、それぞれの確率分布が与えられています。 (1) $X+Y$の分散を求めます。 (2) $X+Y$の標準偏差を求めます。

1. 問題の内容

確率変数$X$と$Y$が互いに独立であるとき、それぞれの確率分布が与えられています。

(1) $X+Y$の分散を求めます。

(2) $X+Y$の標準偏差を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $X+Y$ の分散を求める。

まず、$X$と$Y$の期待値、分散をそれぞれ計算します。

$E[X] = 1 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

$E[Y] = 2 \cdot \frac{4}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = 1^2 \cdot \frac{2}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 3 = \frac{11}{3}$

$V[X] = \frac{11}{3} - (\frac{5}{3})^2 = \frac{11}{3} - \frac{25}{9} = \frac{33}{9} - \frac{25}{9} = \frac{8}{9}$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2$

$E[Y^2] = 2^2 \cdot \frac{4}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{5} + \frac{16}{5} = \frac{32}{5}$

$V[Y] = \frac{32}{5} - (\frac{12}{5})^2 = \frac{32}{5} - \frac{144}{25} = \frac{160}{25} - \frac{144}{25} = \frac{16}{25}$

$X$と$Y$は独立なので、$V[X+Y] = V[X] + V[Y]$

$V[X+Y] = \frac{8}{9} + \frac{16}{25} = \frac{8 \cdot 25 + 16 \cdot 9}{9 \cdot 25} = \frac{200 + 144}{225} = \frac{344}{225}$

(2) $X+Y$ の標準偏差を求める。

標準偏差は分散の平方根なので、

$\sigma[X+Y] = \sqrt{V[X+Y]} = \sqrt{\frac{344}{225}} = \frac{\sqrt{344}}{15} = \frac{2\sqrt{86}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $X+Y$の分散: $\frac{344}{225}$

(2) $X+Y$の標準偏差: $\frac{2\sqrt{86}}{15}$