プレゼント交換会において、参加者が2人または3人の場合に、指定された条件を満たす確率や場合の数を求める問題です。具体的には、以下の問いに答えます。 (i) 2人で交換会を開くとき、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は何通りあるか、またその確率はいくらか。 (ii) 3人で交換会を開くとき、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は何通りあるか、またその確率はいくらか。 (iii) 3人で交換会を開くとき、4回以下の交換で交換会が終了する確率はいくらか。

1. 問題の内容

プレゼント交換会において、参加者が2人または3人の場合に、指定された条件を満たす確率や場合の数を求める問題です。具体的には、以下の問いに答えます。

(i) 2人で交換会を開くとき、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は何通りあるか、またその確率はいくらか。

(ii) 3人で交換会を開くとき、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は何通りあるか、またその確率はいくらか。

(iii) 3人で交換会を開くとき、4回以下の交換で交換会が終了する確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(i) 2人の場合：

2人がそれぞれプレゼントA, Bを持ち寄ったとする。1回目の交換で終了するには、AがBのプレゼントを受け取り、BがAのプレゼントを受け取る必要がある。

受け取り方は1通り。

プレゼントの配り方は全部で2! = 2通り。

確率は $1/2$

(ii) 3人の場合：

3人がそれぞれプレゼントA, B, Cを持ち寄ったとする。1回目の交換で終了するには、誰も自分のプレゼントを受け取らない必要がある。

受け取り方は以下の2通り。

A→B, B→C, C→A

A→C, C→B, B→A

プレゼントの配り方は全部で3! = 6通り。

確率は $2/6 = 1/3$

(iii) 3人の場合：

1回の交換で終わる確率は $1/3$。

1回の交換で終わらない確率は $1 - 1/3 = 2/3$。

1回目,2回目,3回目で終わらない確率は $(2/3)^3 = 8/27$。

したがって、4回以下の交換で終わる確率は $1 - 8/27 = 19/27$。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: 2

エ: 2

オ: 1

カ: 3

キク: 19

ケコ: 27