1から6の目が出る確率が等しいサイコロを4回投げる試行について、以下の確率を求めます。 (1) 出る目の最小値が1である確率 (2) 出る目の最小値が1であり、かつ最大値が6である確率

1. 問題の内容

1から6の目が出る確率が等しいサイコロを4回投げる試行について、以下の確率を求めます。

(1) 出る目の最小値が1である確率

(2) 出る目の最小値が1であり、かつ最大値が6である確率

2. 解き方の手順

(1) 出る目の最小値が1である確率

4回の試行全てで1以上の目が出る確率は、$1$ から $6$ までの目がそれぞれ $\frac{1}{6}$ の確率で出るので、$(\frac{6}{6})^4 = 1$ です。

4回の試行全てで2以上の目が出る確率は、$(\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$ です。

よって、少なくとも1回は1の目が出る確率は、全体から「1が全く出ない」確率を引いて求めます。

$1 - (\frac{5}{6})^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$

(2) 出る目の最小値が1で、かつ最大値が6である確率

4回の試行で1と6が少なくとも1回ずつ出る確率を求めます。

まず、「最小値が1」という条件から、出る目は1以上であることが確定しています。

全体から「最大値が6でない」確率を引くことを考えます。

出る目の最小値が1である確率は(1)で求めた $\frac{671}{1296}$ です。

出る目の最小値が1で、最大値が5以下である確率は、1から5の目しか出ないということです。

4回全て1から5の目が出て、かつ最小値が1である確率は、$(\frac{5}{6})^4 - (\frac{4}{6})^4 = \frac{625}{1296} - \frac{256}{1296} = \frac{369}{1296}$です。

したがって、求める確率は、$\frac{671}{1296} - \frac{369}{1296} = \frac{302}{1296} = \frac{151}{648}$です。

より直接的な解法:

全体の場合の数は $6^4 = 1296$ 通りです。

(1) 最小値が1である場合:

全体から最小値が2以上である場合を引きます。

全体: $6^4 = 1296$

最小値が2以上: $5^4 = 625$

よって、$6^4 - 5^4 = 1296 - 625 = 671$

確率は $\frac{671}{1296}$

(2) 最小値が1、最大値が6である場合:

1と6が少なくとも1回は出現する必要があります。

全体から「1が出ない」場合と「6が出ない」場合を引きます。ただし、「1も6も出ない」場合は二重に引いているので、最後に足し戻します。

全体: $6^4 = 1296$

1が出ない: $5^4 = 625$

6が出ない: $5^4 = 625$

1も6も出ない: $4^4 = 256$

$6^4 - 5^4 - 5^4 + 4^4 = 1296 - 625 - 625 + 256 = 302$

ただし、最小値が1という条件より、1は必ず出ている必要があります。

したがって、1,6が少なくとも1回ずつ出る確率から、最小値が1でない場合を引く必要があります。

しかし、1と6が少なくとも1回ずつ出る場合で、最小値が1でない場合はあり得ないので、単純に上記計算で求められます。

求める確率は $\frac{302}{1296} = \frac{151}{648}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{671}{1296}$ (選択肢 2)

(2) $\frac{151}{648}$ (選択肢 4)