箱の中に白球が15個、赤球が4個入っている。球を1個取り出し、取り出した球は元に戻さないという操作を繰り返す。$n$ 回目に取り出した球が3個目の赤球である確率 $p_n$ が最大となる $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

箱の中に白球が15個、赤球が4個入っている。球を1個取り出し、取り出した球は元に戻さないという操作を繰り返す。$n$ 回目に取り出した球が3個目の赤球である確率 $p_n$ が最大となる $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$n$ 回目に3個目の赤球が出るということは、1回目から $n-1$ 回目までに赤球が2個、白球が $n-3$ 個出て、$n$ 回目に赤球が出ることである。

この確率 $p_n$ は次のように表せる。

$p_n = \dfrac{{}_4C_2 \cdot {}_{15}C_{n-3}}{{}_{19}C_{n-1}} \cdot \dfrac{4-2}{19-(n-1)}$

$p_n = \dfrac{\binom{4}{2} \binom{15}{n-3}}{\binom{19}{n-1}} \times \dfrac{2}{20-n}$

確率 $p_n$ が最大となる $n$ を求めるために、$p_{n+1}/p_n$ を計算し、それが1より大きいか小さいかを調べる。

$\dfrac{p_{n+1}}{p_n} = \dfrac{\dfrac{\binom{4}{2}\binom{15}{n-2}}{\binom{19}{n}} \times \dfrac{2}{19-n}}{\dfrac{\binom{4}{2}\binom{15}{n-3}}{\binom{19}{n-1}} \times \dfrac{2}{20-n}} = \dfrac{\binom{15}{n-2}}{\binom{15}{n-3}} \times \dfrac{\binom{19}{n-1}}{\binom{19}{n}} \times \dfrac{20-n}{19-n}$

$\dfrac{\binom{15}{n-2}}{\binom{15}{n-3}} = \dfrac{\frac{15!}{(n-2)!(17-n)!}}{\frac{15!}{(n-3)!(18-n)!}} = \dfrac{(n-3)!(18-n)!}{(n-2)!(17-n)!} = \dfrac{18-n}{n-2}$

$\dfrac{\binom{19}{n-1}}{\binom{19}{n}} = \dfrac{\frac{19!}{(n-1)!(20-n)!}}{\frac{19!}{n!(19-n)!}} = \dfrac{n!(19-n)!}{(n-1)!(20-n)!} = \dfrac{n}{20-n}$

$\dfrac{p_{n+1}}{p_n} = \dfrac{18-n}{n-2} \times \dfrac{n}{20-n} \times \dfrac{20-n}{19-n} = \dfrac{(18-n)n}{(n-2)(19-n)}$

$p_{n+1} > p_n$ となるのは $\dfrac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ のときである。

$\dfrac{(18-n)n}{(n-2)(19-n)} > 1$

$(18-n)n > (n-2)(19-n)$

$18n - n^2 > 19n - n^2 - 38 + 2n$

$18n > 21n - 38$

$3n < 38$

$n < \dfrac{38}{3} = 12.666\dots$

したがって、$n \le 12$ のとき $p_{n+1} > p_n$ となる。

$n \ge 13$ のとき $p_{n+1} < p_n$ となる。

よって、$n=13$ のとき確率が最大となる。

3. 最終的な答え

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