男子A, B, C, D, E、女子F, G, Hの8人が横一列に並ぶとき、次の問いに答えよ。 (1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。 (2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。 (3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

男子A, B, C, D, E、女子F, G, Hの8人が横一列に並ぶとき、次の問いに答えよ。

(1) AとBが隣り合うような並び方は何通りあるか。

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶような並び方は何通りあるか。

(3) 女子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う場合

AとBをひとまとめにして1つのものと考え、これをXとする。

XとC, D, E, F, G, Hの7つのものを並べる順列は $7!$ 通り。

Xの中でAとBの並び方は2通りある。

したがって、求める並び方は $7! \times 2$ 通り。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

$7! \times 2 = 5040 \times 2 = 10080$

(2) AとBの間にちょうど2人が並ぶ場合

AとBの間に入る2人を選ぶ方法は $_{6}P_{2} = 6 \times 5 = 30$ 通り。

AとBの並び方は2通り。

A, Bとその間の2人をひとまとめにしてXとする。

Xと残りの4人(C,D,E,女子のうち2人が選ばれたので、残り4人)の並び方は $5!$ 通り。

したがって、求める並び方は $_{6}P_{2} \times 2 \times 5! = 30 \times 2 \times 120 = 7200$ 通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$_{6}P_{2} = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30$

(3) 女子同士が隣り合わない場合

まず、男子A, B, C, D, Eを並べる。これは $5!$ 通り。

次に、男子の間に女子を入れる場所は6箇所。

この6箇所から女子の3人を入れる場所を選ぶ方法は $_{6}P_{3}$通り。

女子3人の並び方は $3!$ 通り。

したがって、求める並び方は $5! \times _{6}P_{3} \times 3!$ 通り。

$5! = 120$

$_{6}P_{3} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$5! \times _{6}P_{3} \times 3! = 120 \times 120 \times 6 = 86400$

3. 最終的な答え

(1) 10080通り

(2) 7200通り

(3) 86400通り