青球4個、白球3個、赤球1個の計8個の球について、以下の問いに答える問題です。 (1) これらを円形に並べる並べ方は何通りあるか。 (2) (1)の並べ方のうち、円の中心を通る直線に対して対称であるものは何通りあるか。 (3) 8個の球すべてを糸でつないでじゅずを作る。じゅずの作り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

青球4個、白球3個、赤球1個の計8個の球について、以下の問いに答える問題です。

(1) これらを円形に並べる並べ方は何通りあるか。

(2) (1)の並べ方のうち、円の中心を通る直線に対して対称であるものは何通りあるか。

(3) 8個の球すべてを糸でつないでじゅずを作る。じゅずの作り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の問題です。まず、8個の球を一直線に並べる並べ方を計算します。

同じ色の球は区別しないので、順列は重複度で割る必要があります。

次に、円順列であることを考慮し、回転して一致するものを同一視します。

(2) 円の中心を通る直線に対して対称な並び方を考えます。

対称であるためには、赤球が必ず直線上になければなりません。

残りの7個の球を直線に関して対称に並べる並べ方を考えます。

(3) じゅず順列（ネックレス順列）の問題です。

円順列の場合の数から、裏返して一致するものを同一視します。

(1) の計算:

まず、8個の球を直線状に並べる総数は $\frac{8!}{4!3!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 280$ 通りです。

円順列なので、これを8で割るのではなく、固定して考える必要があります。

赤玉の位置を固定して考えると、残り7個を並べる順列は $\frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りとなります。

(2) の計算:

円の中心を通る直線に関して対称にする場合、赤球が直線上にある必要があります。

直線で半分に分けられた球の個数は3.5個となるため、赤球の位置は確定します。

赤球の位置が確定したので、残りの7個の球のうち、3個の白球を配置する必要があります。

直線に関して対称に並べるので、片側に配置する個数を考えます。

直線上にない残りの6個の球を3個ずつ左右対称に配置します。

3個のうち、2個を青玉、1個を白玉とします。

3個の選び方は $\frac{3!}{2!1!} = 3$通りです。

(3) の計算:

(1)で求めた円順列の総数は35通りです。

じゅず順列の場合、裏返して同じになるものを同一視します。

この中で対称なものは(2)で求めた3通りです。

それ以外のものは裏返すと異なるものになります。

対称でないものは (35 - 3) = 32 通りあります。

これらは裏返すことで同じになるペアが 32 / 2 = 16 ペアあります。

したがって、じゅずの作り方は 3 + 16 = 19 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 35

(2) 3

(3) 19