右図のような道路網において、地点Aから地点Bまで最短経路で移動する。 (1) AからBへの経路の総数を求める。 (2) Cを通ってAからBへ行く確率を求める。 (3) Cを通るがDを通らないでAからBへ行く確率、CもDも通らないでAからBへ行く確率を求める。 (4) Dを通ってAからBへ行くとき、Cも通る条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

右図のような道路網において、地点Aから地点Bまで最短経路で移動する。

(1) AからBへの経路の総数を求める。

(2) Cを通ってAからBへ行く確率を求める。

(3) Cを通るがDを通らないでAからBへ行く確率、CもDも通らないでAからBへ行く確率を求める。

(4) Dを通ってAからBへ行くとき、Cも通る条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) AからBへの最短経路の総数：

AからBへは、右に4回、上に3回移動する必要がある。したがって、7回の移動のうち、右への移動4回を選ぶ組み合わせの数が経路の総数となる。

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

アイウ = 35通り

(2) Cを通ってAからBへ行く確率：

AからCへの経路数は、右に2回、上に1回なので、${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り

CからBへの経路数は、右に2回、上に2回なので、${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

Cを通る経路数は、3 × 6 = 18 通り

よって、Cを通る確率は、 $\frac{18}{35}$

エオ = 18, カキ = 35

(3)

Cを通るがDを通らないでAからBへ行く確率：

AからCを通る経路数は18通り。

AからCを通ってDを通る経路数は、

AからCへ行く経路数は3通り。

CからDへ行く経路数は1通り。

DからBへ行く経路数は右に1回、上に1回なので、${}_2 C_1 = 2$通り。

したがって、AからCを通ってDを通ってBへ行く経路数は 3 × 1 × 2 = 6通り。

Cを通るがDを通らない経路数は、18 - 6 = 12通り。

確率は $\frac{12}{35}$

ク = 12, ケ = 35

CもDも通らないでAからBへ行く確率：

Dを通る経路数を計算する。

AからDへの経路数は、右に3回、上に1回なので、${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

DからBへの経路数は、右に1回、上に2回なので、${}_3 C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$ 通り

Dを通る経路数は、4 × 3 = 12 通り

CまたはDを通る経路数は、Cを通る経路数 + Dを通る経路数 - CとDの両方を通る経路数 = 18 + 12 - 6 = 24

CもDも通らない経路数は、35 - 24 = 11

確率は $\frac{11}{35}$

コ = 11, サ = 35

(4) Dを通ってAからBへ行くとき、Cも通る条件付き確率：

Dを通るという条件のもとで、Cも通る確率を求める。

P(C|D) = P(CかつD) / P(D)

P(CかつD) = $\frac{6}{35}$

P(D) = $\frac{12}{35}$

P(C|D) = $\frac{6/35}{12/35} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

シ = 1, ス = 2

3. 最終的な答え

(1) アイウ = 35

(2) エオ/カキ = 18/35

(3) ク/ケ = 12/35, コ/サ = 11/35

(4) シ/ス = 1/2