100人の野球選手を無作為に抽出して調査した結果、直近1週間で打ったホームランの本数が表にまとめられている。このデータから、1人あたりのホームラン数の母平均を信頼度95%で推定する。

1. 問題の内容

100人の野球選手を無作為に抽出して調査した結果、直近1週間で打ったホームランの本数が表にまとめられている。このデータから、1人あたりのホームラン数の母平均を信頼度95%で推定する。

2. 解き方の手順

まず、標本平均と標本標準偏差を計算する。次に、信頼区間を計算する。

ステップ1: 標本平均 $\bar{x}$ を計算する。

$\bar{x} = \frac{0 \times 41 + 1 \times 27 + 2 \times 23 + 3 \times 9}{100} = \frac{0 + 27 + 46 + 27}{100} = \frac{100}{100} = 1$

ステップ2: 標本分散 $s^2$ を計算する。

$s^2 = \frac{(0-1)^2 \times 41 + (1-1)^2 \times 27 + (2-1)^2 \times 23 + (3-1)^2 \times 9}{100} = \frac{1 \times 41 + 0 \times 27 + 1 \times 23 + 4 \times 9}{100} = \frac{41 + 0 + 23 + 36}{100} = \frac{100}{100} = 1$

ステップ3: 標本標準偏差 $s$ を計算する。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{1} = 1$

ステップ4: 信頼区間を計算する。

信頼度95%の場合、z値は約1.96である。（標本サイズが大きいため、t分布ではなくz分布を使用する。）

信頼区間の公式は次の通り。

$\bar{x} \pm z \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 1$, $z = 1.96$, $s = 1$, $n = 100$

$1 \pm 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{100}} = 1 \pm 1.96 \times \frac{1}{10} = 1 \pm 0.196$

したがって、信頼区間は次のようになる。

$(1 - 0.196, 1 + 0.196) = (0.804, 1.196)$

3. 最終的な答え

1人あたりのホームラン数の母平均の95%信頼区間は、(0.804, 1.196) です。