V病は4000人に1人の割合で発症する。1次検査の結果、V病でないと判定された人が、実際にはV病にかかっている確率を求める。

1. 問題の内容

V病は4000人に1人の割合で発症する。1次検査の結果、V病でないと判定された人が、実際にはV病にかかっている確率を求める。

2. 解き方の手順

例題14を参考に、ベイズの定理を用いる。

まず、事象を定義する。

* A: 1次検査でV病でないと判定される

* B1: V病である

* B2: V病でない

求める確率は、$P(B_1|A)$であり、ベイズの定理より、

$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)}$

それぞれの確率を求める。

* $P(B_1)$ = V病である確率 = $\frac{1}{4000}$

* $P(B_2)$ = V病でない確率 = $1 - \frac{1}{4000} = \frac{3999}{4000}$

* $P(A|B_1)$ = V病であるにもかかわらず、検査でV病でないと判定される確率 = $1 - 0.97 = 0.03$ (検査の信頼率が97%であるため)

* $P(A|B_2)$ = V病でないにもかかわらず、検査でV病でないと判定される確率 = $0.97$ (検査の信頼率が97%であるため)

これらの値をベイズの定理の式に代入する。

$P(B_1|A) = \frac{0.03 \times \frac{1}{4000}}{0.03 \times \frac{1}{4000} + 0.97 \times \frac{3999}{4000}}$

$P(B_1|A) = \frac{0.03}{0.03 + 0.97 \times 3999} = \frac{0.03}{0.03 + 3879.03} = \frac{0.03}{3879.06} \approx 0.00000773$

3. 最終的な答え

V病でないと判定されたにもかかわらず、実際にはV病にかかっている確率は約0.00000773 (7.73 x 10^-6)です。