ある調剤薬局において、月曜日の午前中に5分間で平均2人の客が来る。客の数 $X$ はポアソン分布に従うとき、以下の問題を解く。 (1) 確率変数$X$が従うポアソン分布の確率関数$f(x)$を求め、グラフを描く。 (2) 確率 $P(0 \leq X \leq 2)$ を求める。 (3) 5分間に6人以上の客が来る確率を求める。

1. 問題の内容

ある調剤薬局において、月曜日の午前中に5分間で平均2人の客が来る。客の数 $X$ はポアソン分布に従うとき、以下の問題を解く。

(1) 確率変数$X$が従うポアソン分布の確率関数$f(x)$を求め、グラフを描く。

(2) 確率 $P(0 \leq X \leq 2)$ を求める。

(3) 5分間に6人以上の客が来る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ポアソン分布の確率関数は、平均を$\lambda$とすると、次のように表される。

$$$$

f(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}

$$$$

この問題では、$\lambda = 2$ なので、確率関数は以下のようになる。

$$$$

f(x) = \frac{e^{-2} 2^x}{x!}

$$$$

グラフを描くためには、$x = 0, 1, 2, 3, \dots$ のときの $f(x)$ の値を計算し、プロットすればよい。

$f(0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0.135$

$f(1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} \approx 0.271$

$f(2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2} \approx 0.271$

$f(3) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} = \frac{4}{3}e^{-2} \approx 0.180$

$f(4) = \frac{e^{-2} 2^4}{4!} = \frac{2}{3}e^{-2} \approx 0.090$

$f(5) = \frac{e^{-2} 2^5}{5!} = \frac{4}{15}e^{-2} \approx 0.036$

(2)

$P(0 \leq X \leq 2)$ は、$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ で計算できる。

$P(X=0) = f(0) = e^{-2}$

$P(X=1) = f(1) = 2e^{-2}$

$P(X=2) = f(2) = 2e^{-2}$

したがって、

$$$$

P(0 \leq X \leq 2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} \approx 5 \times 0.135 = 0.675

$$$$

(3)

5分間に6人以上の客が来る確率 $P(X \geq 6)$ は、$1 - P(X < 6)$ で計算できる。

$P(X < 6) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$

$P(X < 6) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} + \frac{4}{3}e^{-2} + \frac{2}{3}e^{-2} + \frac{4}{15}e^{-2} = (1 + 2 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{15})e^{-2} = \frac{85}{15}e^{-2} = \frac{17}{3}e^{-2} \approx 5.666 \times 0.135 \approx 0.762$

$P(X \geq 6) = 1 - P(X < 6) = 1 - \frac{17}{3}e^{-2} \approx 1 - 0.762 = 0.238$

3. 最終的な答え

(1) 確率関数：$f(x) = \frac{e^{-2} 2^x}{x!}$

(2) $P(0 \leq X \leq 2) = 5e^{-2} \approx 0.675$

(3) $P(X \geq 6) = 1 - \frac{17}{3}e^{-2} \approx 0.238$