V病は4000人に1人の割合で発病する。1次検査の結果、V病でないと判定されたにもかかわらず、本当にV病にかかっている確率を求める。ただし、例題14の結果を用いる。

1. 問題の内容

V病は4000人に1人の割合で発病する。1次検査の結果、V病でないと判定されたにもかかわらず、本当にV病にかかっている確率を求める。ただし、例題14の結果を用いる。

2. 解き方の手順

問題文だけでは解けないため、例題14を参照する必要があります。例題14を調べると、以下の情報が得られると仮定します。

* V病の罹患率: $P(V) = \frac{1}{4000}$

* V病でない人が検査でV病でないと判定される確率（特異度）: $P(\overline{T}|\overline{V})$。ここで $\overline{T}$は「検査でV病でないと判定される」、$\overline{V}$は「V病ではない」を表す。この確率は例題14から読み取る必要があり、ここでは $0.99$ と仮定する。

* V病の人が検査でV病であると判定される確率（感度）: $P(T|V)$。ここで $T$は「検査でV病であると判定される」、 $V$は「V病である」を表す。この確率は例題14から読み取る必要があり、ここでは $0.95$ と仮定する。

求める確率は、$P(V|\overline{T})$、すなわち「検査でV病でないと判定された人が、本当にV病にかかっている確率」です。これをベイズの定理を用いて計算します。

ベイズの定理より、

$P(V|\overline{T}) = \frac{P(\overline{T}|V)P(V)}{P(\overline{T})}$

ここで、$P(\overline{T}|V)$ は、「V病の人が検査でV病でないと判定される確率」であり、$1 - P(T|V)$ で計算できます。 $P(T|V)$ は感度なので、$P(\overline{T}|V) = 1-0.95 = 0.05$。

次に、$P(\overline{T})$ を計算します。これは「検査でV病でないと判定される確率」であり、V病の人とV病でない人の両方について考慮する必要があります。

$P(\overline{T}) = P(\overline{T}|V)P(V) + P(\overline{T}|\overline{V})P(\overline{V})$

$P(\overline{V})$ は、「V病ではない確率」であり、$1 - P(V)$ で計算できます。

$P(\overline{V}) = 1 - \frac{1}{4000} = \frac{3999}{4000}$

したがって、

$P(\overline{T}) = (0.05) \left(\frac{1}{4000}\right) + (0.99) \left(\frac{3999}{4000}\right)$

$P(\overline{T}) = \frac{0.05 + 0.99 \times 3999}{4000} = \frac{0.05 + 3959.01}{4000} = \frac{3959.06}{4000} = 0.989765$

よって、

$P(V|\overline{T}) = \frac{(0.05)\left(\frac{1}{4000}\right)}{\frac{3959.06}{4000}} = \frac{0.05}{3959.06} = 0.00001263$

$P(V|\overline{T}) \approx 1.263 \times 10^{-5}$

3. 最終的な答え

約 $1.263 \times 10^{-5}$ (または $0.00001263$)

これは、$0.001263 \%$ に相当します。

補足:

問題文に例題14の結果を用いるとあるので、例題14に検査の感度・特異度が明記されているはずです。例題14を参照して、上記の感度 $0.95$ と特異度 $0.99$ を正しい値に置き換えてください。そうすれば、より正確な答えが得られます。