ある調剤薬局で、毎週月曜日の午前中の5分間に平均3人の客が来ることがわかっている。客の数を表す確率変数 $X$ はポアソン分布 $Po(3)$ に従うものとする。 (1) ポアソン分布 $Po(3)$ の確率関数 $f(x)$ の式を書き、グラフを描く（グラフについては省略します）。 (2) 確率 $P(0 \leq X \leq 2)$ を求めよ。 (3) 5分間に6人以上の客が来る確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある調剤薬局で、毎週月曜日の午前中の5分間に平均3人の客が来ることがわかっている。客の数を表す確率変数 $X$ はポアソン分布 $Po(3)$ に従うものとする。

(1) ポアソン分布 $Po(3)$ の確率関数 $f(x)$ の式を書き、グラフを描く（グラフについては省略します）。

(2) 確率 $P(0 \leq X \leq 2)$ を求めよ。

(3) 5分間に6人以上の客が来る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ポアソン分布の確率関数は、平均を $\lambda$ とすると、次のように表される。

$f(x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$

この問題では、$\lambda = 3$ なので、確率関数は次のようになる。

$f(x) = \frac{e^{-3} 3^x}{x!}$

(2) $P(0 \leq X \leq 2)$ を求める。これは、$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ を計算することで求められる。

$P(X=0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498$

$P(X=1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = 3e^{-3} \approx 0.1494$

$P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx 0.2240$

したがって、

$P(0 \leq X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 = 0.4232$

(3) 5分間に6人以上の客が来る確率を求める。これは、$P(X \geq 6)$ を求めることである。

これは、$1 - P(X < 6)$ と等しいので、$1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5))$ を計算する。

$P(X=3) = \frac{e^{-3} 3^3}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3} \approx 0.2240$

$P(X=4) = \frac{e^{-3} 3^4}{4!} = \frac{81}{24} e^{-3} = \frac{27}{8} e^{-3} \approx 0.1680$

$P(X=5) = \frac{e^{-3} 3^5}{5!} = \frac{243}{120} e^{-3} = \frac{81}{40} e^{-3} \approx 0.1008$

$P(X < 6) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 + 0.2240 + 0.1680 + 0.1008 = 0.9160$

したがって、$P(X \geq 6) = 1 - P(X < 6) \approx 1 - 0.9160 = 0.0840$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{e^{-3} 3^x}{x!}$

(2) $P(0 \leq X \leq 2) \approx 0.4232$

(3) $P(X \geq 6) \approx 0.0840$