練習問題14：V病の患者が4000人に1人の割合で発病する場合に、1次検査の結果、V病でないと判定されたにもかかわらず、本当にV病にかかっている確率を求める。

1. 問題の内容

練習問題14：V病の患者が4000人に1人の割合で発病する場合に、1次検査の結果、V病でないと判定されたにもかかわらず、本当にV病にかかっている確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、必要な確率変数を定義します。

* A: 1次検査でV病でないと判定される事象

* B1: V病である事象

* B2: V病でない事象

求めるべき確率は $P(B_1 | A)$、すなわち1次検査でV病でないと判定された場合に、実際にV病にかかっている確率です。これはベイズの定理を用いて計算できます。

ベイズの定理は次の通りです。

$P(B_1 | A) = \frac{P(A | B_1) P(B_1)}{P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2)}$

問題文から次の確率がわかります。

* V病の患者の割合は4000人に1人なので、$P(B_1) = \frac{1}{4000}$。

* したがって、$P(B_2) = 1 - P(B_1) = 1 - \frac{1}{4000} = \frac{3999}{4000}$。

問題文からは、$P(A | B_1)$と$P(A | B_2)$の値が直接的にはわかりません。

しかし、例題14の計算において、

$P(A|B_1) = 1 - 0.97 = 0.03$

$P(A|B_2) = 0.97$

と仮定して計算を行うものとします。

これらの値をベイズの定理の式に代入します。

$P(B_1 | A) = \frac{0.03 \times \frac{1}{4000}}{0.03 \times \frac{1}{4000} + 0.97 \times \frac{3999}{4000}}$

$P(B_1 | A) = \frac{0.03}{0.03 + 0.97 \times 3999}$

$P(B_1 | A) = \frac{0.03}{0.03 + 3879.03}$

$P(B_1 | A) = \frac{0.03}{3879.06} \approx 0.00000773$

3. 最終的な答え

約0.00000773、または7.73 x 10^-6