成績$X$は正規分布$N(65, 12^2)$に従う。 (1) $P(X \le 55)$を求めよ。 (2) $P(X \ge a) = 0.25$を満たす$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

成績$X$は正規分布$N(65, 12^2)$に従う。

(1) $P(X \le 55)$を求めよ。

(2) $P(X \ge a) = 0.25$を満たす$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(X \le 55)$を求める。

$X$を標準化する。$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。ここで、$\mu = 65$、$\sigma = 12$である。

$Z = \frac{55 - 65}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6} \approx -0.83$

$P(X \le 55) = P(Z \le -0.83)$

標準正規分布表より、$P(Z \le -0.83) = 0.2033$

(2) $P(X \ge a) = 0.25$を満たす$a$を求める。

$P(X \ge a) = P(\frac{X - \mu}{\sigma} \ge \frac{a - \mu}{\sigma}) = P(Z \ge \frac{a - 65}{12}) = 0.25$

$P(Z < \frac{a - 65}{12}) = 1 - 0.25 = 0.75$

標準正規分布表より、$P(Z < 0.67) \approx 0.7486$、$P(Z < 0.68) \approx 0.7517$なので、$z = 0.675$くらい。

$\frac{a - 65}{12} = 0.675$

$a = 12 \times 0.675 + 65 = 8.1 + 65 = 73.1$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \le 55) = 0.2033$

(2) $a = 73.1$