1から10までの数字が書かれた10枚のカードがあります。 (1) 10枚のカードから同時に4枚取り出すとき、取り出したカードに書かれた数の最小値が4となる確率を求めます。 (2) 10枚のカードから1枚取り出し、元に戻すことを4回繰り返すとき、取り出されたカードに書かれた数の最小値が4となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの数字が書かれた10枚のカードがあります。

(1) 10枚のカードから同時に4枚取り出すとき、取り出したカードに書かれた数の最小値が4となる確率を求めます。

(2) 10枚のカードから1枚取り出し、元に戻すことを4回繰り返すとき、取り出されたカードに書かれた数の最小値が4となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4枚のカードを取り出したときの数の最小値が4となる確率を求めます。

まず、10枚のカードから4枚を取り出す場合の総数は、組み合わせの数として計算できます。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

次に、最小値が4である場合の数を考えます。

最小値が4であるためには、4のカードは必ず含まれていなければなりません。

残りの3枚は5から10までの6枚のカードから選ぶ必要があります。

したがって、残りの3枚の選び方は、組み合わせの数として計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、求める確率は、

$P = \frac{\text{最小値が4となる場合の数}}{\text{4枚のカードの選び方の総数}} = \frac{20}{210} = \frac{2}{21}$

(2) 1枚取り出しては戻す、という操作を4回繰り返すとき、取り出された数の最小値が4となる確率を求めます。

まず、1回の試行で4以上の数が出る確率は、4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 の7つの数字のうちいずれかが出る確率なので、$\frac{7}{10}$です。

次に、4回とも4以上の数が出る確率は、$(\frac{7}{10})^4 = \frac{2401}{10000}$です。

さらに、1回の試行で5以上の数が出る確率は、5, 6, 7, 8, 9, 10の6つの数字のうちいずれかが出る確率なので、$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$です。

4回とも5以上の数が出る確率は、$(\frac{6}{10})^4 = (\frac{3}{5})^4 = \frac{81}{625} = \frac{1296}{10000}$です。

したがって、求める確率は、4回とも4以上の数が出て、かつ少なくとも1回は4が出る確率なので、4回とも4以上の数が出る確率から、4回とも5以上の数が出る確率を引きます。

$P = (\frac{7}{10})^4 - (\frac{6}{10})^4 = \frac{2401}{10000} - \frac{1296}{10000} = \frac{1105}{10000} = \frac{221}{2000}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{21}$

(2) $\frac{221}{2000}$