1から$n$までの自然数が書かれた$n$枚のカードから1枚を取り出す。取り出したカードに書かれた数を$X$とするとき、期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求める問題です。具体的には、(1) $X=k$となる確率$p_k$を求め、(2) $E(X)$を計算し、(3) $E(X^2)$と$V(X)$を計算します。

1. 問題の内容

1から$n$までの自然数が書かれた$n$枚のカードから1枚を取り出す。取り出したカードに書かれた数を$X$とするとき、期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求める問題です。具体的には、(1) $X=k$となる確率$p_k$を求め、(2) $E(X)$を計算し、(3) $E(X^2)$と$V(X)$を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $1 \le k \le n$ を満たす自然数 $k$ に対して、$X=k$ となる確率 $p_k$ を求める。

$n$枚のカードから1枚を選ぶので、確率はすべて等しく、$p_k$は$k$の値によらず一定です。したがって、

$p_k = \frac{1}{n}$

(2) $E(X)$を求める。

$E(X) = \sum_{k=1}^{n} k p_k = \sum_{k=1}^{n} k \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$

したがって、$E(X) = \frac{n+1}{2}$。問題文では $\frac{n+2}{3}$ となっているので、これは誤りです。

修正すると、$E(X) = \frac{n+1}{2}$ なので、分子は $n+1$、分母は $2$ です。

(3) $E(X^2)$を求める。

$E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 p_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$

$E(X^2) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6} = \frac{1}{6}(2n^2 + 3n + 1)$

問題文では、$E(X^2) = \frac{1}{4}(n+5)(6(n+1))$となっていますが、これは間違いです。

ただし、問題文の形式に合わせるように無理やり変形すると、

$E(X^2) = \frac{1}{6}(2n^2 + 3n + 1) = \frac{1}{6} (n+1)(2n+1)$

$\frac{(n+5)(n+1)}{6} = \frac{n^2 + 6n + 5}{6} \neq \frac{2n^2 + 3n + 1}{6}$

$\frac{1}{4}(n+5)(n+1) = \frac{n^2+6n+5}{4}$

$V(X)$を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - (\frac{n+1}{2})^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12} = \frac{(n+1)(4n+2-3n-3)}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$

$V(X) = \frac{n^2-1}{12}$

問題文では、 $V(X) = \frac{1}{78}(n+9)(n-10)$となっていますが、これも間違いです。

$V(X) = \frac{1}{12}(n-1)(n+1)$

3. 最終的な答え

(1) 1/n

(2) n+1/2

(3) 5: 1, 6: 2n+1, 7: 12, 9: -1, 10: 1