箱Aには白玉1個と黒玉2個、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っている。箱A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出す。取り出した玉の色が同じなら、取り出した玉をそれぞれの箱に戻す。色が異なるなら、取り出した玉をそれぞれの箱とは異なる箱に入れる。この操作を1回または2回行った後の、箱Aの白玉の個数に関する確率や期待値を求める。具体的には、以下の問いに答える。 (1) 操作を1回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が0個となる確率と1個となる確率を求めよ。 (2) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が1個となる確率を求めよ。 (3) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

箱Aには白玉1個と黒玉2個、箱Bには白玉2個と黒玉1個が入っている。箱A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出す。取り出した玉の色が同じなら、取り出した玉をそれぞれの箱に戻す。色が異なるなら、取り出した玉をそれぞれの箱とは異なる箱に入れる。この操作を1回または2回行った後の、箱Aの白玉の個数に関する確率や期待値を求める。具体的には、以下の問いに答える。

(1) 操作を1回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が0個となる確率と1個となる確率を求めよ。

(2) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が1個となる確率を求めよ。

(3) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 操作を1回行った後の箱Aの白玉の個数について考える。

箱Aの白玉の個数が0個になるのは、Aから白玉が出てBから黒玉が出た場合である。この確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

箱Aの白玉の個数が1個になるのは、

- Aから白玉が出て、Bからも白玉が出た場合（元に戻る）

- Aから黒玉が出て、Bからも黒玉が出た場合（元に戻る）

- Aから黒玉が出て、Bから白玉が出た場合(Aは白玉0個, Bは白玉3個)

- Aから白玉が出て、Bから黒玉が出た場合(Aは白玉0個, Bは白玉3個)

はじめはAの白玉は1個なので、上記の操作で白玉1個になるのは、操作後にも白玉1個の状態が保たれる場合。つまりA,Bから同じ色の玉が出た場合。

この確率は、

(Aから白玉、Bから白玉) + (Aから黒玉、Bから黒玉) = $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$

(2) 操作を2回行った後、箱Aに入っている白玉の個数が1個になる確率を求める。

1回目の操作後、箱Aの白玉が0個になる確率は$\frac{1}{9}$であり、白玉が1個になる確率は$\frac{4}{9}$である。したがって、1回目の操作後箱Aの白玉が2個になる確率は、$1 - \frac{1}{9} - \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$である。

- 1回目に白玉が0個になった場合、2回目に白玉が1個になるには、Aから黒玉、Bから白玉を取り出す必要があり、その確率は$\frac{3}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$なので、$\frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$

- 1回目に白玉が1個だった場合、2回目に白玉が1個になるのは、AとBから同じ色の玉が出た場合なので、$\frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$

- 1回目に白玉が2個だった場合、2回目に白玉が1個になるには、Aから白玉、Bから黒玉を取り出す必要があり、その確率は$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$なので、$\frac{4}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{8}{81}$

求める確率は、$\frac{2}{27} + \frac{16}{81} + \frac{8}{81} = \frac{6}{81} + \frac{16}{81} + \frac{8}{81} = \frac{30}{81} = \frac{10}{27} = \frac{30}{81}$

(3) 箱Aの白玉の個数Xの期待値を求める。

Xが取りうる値は0, 1, 2。それぞれの確率を求め、期待値を計算する。

1回目の操作後、箱Aには確率$\frac{1}{9}$で白玉が0個、確率$\frac{4}{9}$で白玉が1個、確率$\frac{4}{9}$で白玉が2個となる。

2回の操作後、箱Aにある白玉の数が0, 1, 2である確率をそれぞれ$P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$と表す。

$P(X=1)=\frac{10}{27}$はすでに求めた。

$P(X=0)$を計算する。

1回目0個 -> 2回目0個: $\frac{1}{9} \times (1 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$

1回目1個 -> 2回目0個: $\frac{4}{9} \times (\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) = \frac{8}{81}$

1回目2個 -> 2回目0個: なし

$P(X=0) = \frac{3}{81} + \frac{8}{81} = \frac{11}{81}$

したがって、 $P(X=2) = 1 - \frac{10}{27} - \frac{11}{81} = 1 - \frac{30}{81} - \frac{11}{81} = \frac{40}{81}$

期待値$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{11}{81} + 1 \times \frac{30}{81} + 2 \times \frac{40}{81} = \frac{30 + 80}{81} = \frac{110}{81}$

3. 最終的な答え

19: ア. 1/9

20: ウ. 4/9

21: ウ. 32/81

22: イ. 11/9