## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

7つの異なる問題が与えられています。各問題は確率を求めるものです。

(1) サイコロを3回投げる確率の問題

(2) 袋から球を取り出す確率の問題

(3) じゃんけんの確率の問題

(4) カードを引く確率の問題

(5) 文字を並べる確率の問題

(6) くじ引きの確率の問題

(7) クイズに答える確率の問題

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2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

**(1) サイコロを3回投げる**

(a) 偶数の目、奇数の目、3の倍数の目の順に出る確率

* 偶数の目が出る確率は $1/2$

* 奇数の目が出る確率は $1/2$

* 3の倍数の目が出る確率は $1/3$

* よって確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

(b) 3回目に初めて3の倍数が出る確率

* 1回目、2回目は3の倍数以外が出る必要がある。その確率はそれぞれ $2/3$

* 3回目に3の倍数が出る確率は $1/3$

* よって確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$

(c) 出る目がすべて異なる確率

* 1回目の目は6通り

* 2回目の目は1回目と異なる5通り

* 3回目の目は1回目、2回目と異なる4通り

* 全体の目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$

* よって確率は $\frac{6 \times 5 \times 4}{216} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$

(d) 目の和が5になる確率

目の和が5になる組み合わせは以下の通り:

(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)

それぞれ $1/6 \times 1/6 \times 1/6 = 1/216$ で起こる。

したがって、確率は $6/216 = 1/36$

(e) 目の積が5の倍数になる確率

目の積が5の倍数になるのは、少なくとも1回は5が出る場合。

5が1回も出ない確率を計算し、それを1から引けば良い。

5が出ない確率は $5/6$

3回とも5が出ない確率は $(5/6)^3 = 125/216$

したがって、少なくとも1回は5が出る確率は $1 - 125/216 = 91/216$

**(2) 袋から球を取り出す**

(a) 4個とも同じ色の球が出る確率

4個とも赤球が出る確率は $\frac{{5 \choose 4}}{{11 \choose 4}} = \frac{5}{330}$

4個とも白球が出る確率は $\frac{{6 \choose 4}}{{11 \choose 4}} = \frac{15}{330}$

したがって、確率は $\frac{5}{330} + \frac{15}{330} = \frac{20}{330} = \frac{2}{33}$

(b) 赤球と白球がそれぞれ少なくとも1個出る確率

全体から「4個とも赤球」「4個とも白球」が出る場合を除けばよい。

全体は1なので、確率は $1 - \frac{2}{33} = \frac{31}{33}$

**(3) じゃんけん**

(a) AとBの2人が勝つ確率

AとBが同じ手を出し、Cが負ける必要がある。

AとBが出す手は3通り、Cが負ける手は1通り。

A, B, Cの出し方は $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り

したがって、確率は $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

(b) 1人だけが勝つ確率

1人が勝つのは、3人の中から勝つ1人を決めるのが3通り。

勝つ人が出す手は3通り。

負ける2人は同じ手を出す必要がある。

3人とも同じ手になる場合を除く。

したがって、確率は $\frac{3 \times 2}{27} = \frac{2}{9}$

**(4) カードを引く**

(a) 取り出したカードの番号が奇数かつ3の倍数である確率

1から13までの奇数は 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 の7個。

その中で3の倍数は 3, 9 。

確率は $\frac{2}{13}$

(b) 取り出したカードの番号が奇数であるとき、その番号が3の倍数である確率

奇数である確率は $7/13$

奇数かつ3の倍数である確率は $2/13$

条件付き確率は $\frac{2/13}{7/13} = \frac{2}{7}$

**(5) 文字を並べる**

(a) AとBが両端にある確率

8文字の並べ方は $8! = 40320$ 通り

AとBが両端にあるのは、AとBの並び順が2通り、残りの6文字の並べ方が $6!$ 通り。

したがって、確率は $\frac{2 \times 6!}{8!} = \frac{2}{8 \times 7} = \frac{1}{28}$

(b) AはBより左で、BはCより左にある確率

A, B, Cの並び順は 3! = 6 通り。そのうちA, B, Cの順になるのは1通り。

したがって、確率は $1/6$

**(6) くじ引き**

(a) 同時に3本引くとき、2本だけ当たる確率

当たりくじ4本から2本引き、外れくじ6本から1本引く。

$\frac{{4 \choose 2} {6 \choose 1}}{{10 \choose 3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

(b) 1本ずつ2本引き、1本目のくじはもとに戻すとするとき、1本目がはずれ、2本目が当たる確率

1本目が外れる確率は $6/10$

2本目が当たる確率は $4/10$

したがって、確率は $\frac{6}{10} \times \frac{4}{10} = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$

(c) 1本ずつ2本引き、1本目のくじはもとに戻さないものとするとき、2本目が当たる確率

1本目が外れる確率は $6/10$。この時2本目が当たる確率は $4/9$。

1本目が当たる確率は $4/10$。この時2本目が当たる確率は $3/9$。

したがって、確率は $\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{24}{90} + \frac{12}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$

**(7) クイズに答える**

(a) すべて正解となる確率

各問題で正解する確率は $1/2$

5問すべて正解する確率は $(1/2)^5 = 1/32$

(b) 3問以上正解となる確率

3問正解する確率は ${5 \choose 3} (1/2)^5 = 10/32$

4問正解する確率は ${5 \choose 4} (1/2)^5 = 5/32$

5問正解する確率は ${5 \choose 5} (1/2)^5 = 1/32$

したがって、確率は $\frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) (a) 1/12 (b) 4/27 (c) 5/9 (d) 1/36 (e) 91/216

(2) (a) 2/33 (b) 31/33

(3) (a) 1/9 (b) 2/9

(4) (a) 2/13 (b) 2/7

(5) (a) 1/28 (b) 1/6

(6) (a) 3/10 (b) 6/25 (c) 2/5

(7) (a) 1/32 (b) 1/2