袋Aには赤球3個と白球7個、袋Bには赤球2個と白球3個が入っている。それぞれの袋から2個ずつ球を取り出すとき、取り出した4個の球がすべて同じ色である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには赤球3個と白球7個、袋Bには赤球2個と白球3個が入っている。それぞれの袋から2個ずつ球を取り出すとき、取り出した4個の球がすべて同じ色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

4個の球がすべて同じ色であるのは、次の2つの場合である。

(1) 4個とも赤球である場合

(2) 4個とも白球である場合

それぞれの確率を計算し、それらを足し合わせることで、求める確率を計算する。

(1) 4個とも赤球である確率

袋Aから2個とも赤球を取り出す確率は $\frac{{}_{3}C_2}{{}_{10}C_2}$。

袋Bから2個とも赤球を取り出す確率は $\frac{{}_{2}C_2}{{}_{5}C_2}$。

したがって、4個とも赤球である確率は、

$\frac{{}_{3}C_2}{{}_{10}C_2} \times \frac{{}_{2}C_2}{{}_{5}C_2} = \frac{3}{\frac{10 \times 9}{2}} \times \frac{1}{\frac{5 \times 4}{2}} = \frac{3}{45} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{15} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{150}$

(2) 4個とも白球である確率

袋Aから2個とも白球を取り出す確率は $\frac{{}_{7}C_2}{{}_{10}C_2}$。

袋Bから2個とも白球を取り出す確率は $\frac{{}_{3}C_2}{{}_{5}C_2}$。

したがって、4個とも白球である確率は、

$\frac{{}_{7}C_2}{{}_{10}C_2} \times \frac{{}_{3}C_2}{{}_{5}C_2} = \frac{\frac{7 \times 6}{2}}{\frac{10 \times 9}{2}} \times \frac{\frac{3 \times 2}{2}}{\frac{5 \times 4}{2}} = \frac{21}{45} \times \frac{3}{10} = \frac{7}{15} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{150} = \frac{7}{50}$

求める確率は、(1)と(2)の確率の和である。

$\frac{1}{150} + \frac{7}{50} = \frac{1}{150} + \frac{21}{150} = \frac{22}{150} = \frac{11}{75}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{75}$