20人の生徒に5点満点の小テストを2回行った。1回目の得点を$x$点、2回目の得点を$y$点とする。その結果が表で与えられている。$x$の平均値は3である。 (1) 表中の$a$と$b$に入る人数を求めよ。 (2) $y$の平均値$\bar{y}$を求めよ。 (3) $x$と$y$の相関係数$r$を求めよ。

1. 問題の内容

20人の生徒に5点満点の小テストを2回行った。1回目の得点を$x$点、2回目の得点を$y$点とする。その結果が表で与えられている。$x$の平均値は3である。

(1) 表中の$a$と$b$に入る人数を求めよ。

(2) $y$の平均値$\bar{y}$を求めよ。

(3) $x$と$y$の相関係数$r$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$の平均値が3であることから、$a$と$b$に関する式を立てる。

$x$の平均値は、

$\bar{x} = \frac{0 \times 0 + 1 \times 1 + 2 \times (1+3) + 3 \times (2+9) + 4 \times b + 5 \times a}{20} = 3$

$1 + 8 + 33 + 4b + 5a = 60$

$5a + 4b = 18$

また、生徒の合計人数が20人であることから、$a$と$b$に関する式を立てる。

$0 + 1 + (1+3) + (2+9) + b + a = 20$

$1 + 4 + 11 + b + a = 20$

$a + b = 4$

上記の2つの式を連立させて解く。

$5a + 4b = 18$

$a + b = 4$

$a = 18 - 4b = 4 - b$

$5(4 - b) + 4b = 18$

$20 - 5b + 4b = 18$

$-b = -2$

$b = 2$

$a = 4 - b = 4 - 2 = 2$

したがって、$a = 2$、$b = 2$

(2)

$y$の平均値$\bar{y}$は、

$\bar{y} = \frac{5 \times 0 + 4 \times (2+a) + 3 \times (1+9+b) + 2 \times (1+3) + 1 \times 0 + 0 \times 0}{20}$

$\bar{y} = \frac{4 \times (2+2) + 3 \times (1+9+2) + 2 \times (1+3)}{20}$

$\bar{y} = \frac{16 + 36 + 8}{20} = \frac{60}{20} = 3$

したがって、$y$の平均値$\bar{y}=3$

(3)

$x$と$y$の相関係数$r$を求める。

まず、$x$と$y$の分散を求める。

$x$の分散$s_x^2$は、

$s_x^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2$

$s_x^2 = \frac{1}{20} [(0-3)^2 \times 0 + (1-3)^2 \times 1 + (2-3)^2 \times 4 + (3-3)^2 \times 11 + (4-3)^2 \times 2 + (5-3)^2 \times 2]$

$s_x^2 = \frac{1}{20} [0 + 4 + 4 + 0 + 2 + 8] = \frac{18}{20} = 0.9$

$y$の分散$s_y^2$は、

$s_y^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (y_i - \bar{y})^2$

$s_y^2 = \frac{1}{20} [(5-3)^2 \times 0 + (4-3)^2 \times 4 + (3-3)^2 \times 12 + (2-3)^2 \times 4 + (1-3)^2 \times 0 + (0-3)^2 \times 0]$

$s_y^2 = \frac{1}{20} [0 + 4 + 0 + 4 + 0 + 0] = \frac{8}{20} = 0.4$

共分散$s_{xy}$は、

$s_{xy} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

$s_{xy} = \frac{1}{20} [(0-3)(5-3) \times 0 + (1-3)(2-3) \times 1 + (2-3)(3-3) \times 1 + (2-3)(2-3) \times 3 + (3-3)(4-3) \times 2 + (3-3)(3-3) \times 9 + (3-3)(2-3) \times 3 + (4-3)(4-3) \times 2 + (5-3)(4-3) \times 2]$

$s_{xy} = \frac{1}{20} [0 + 2 + 3 + 2 + 4] = \frac{11}{20} = 0.55$

相関係数$r$は、

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{0.55}{\sqrt{0.9} \sqrt{0.4}} = \frac{0.55}{\sqrt{0.36}} = \frac{0.55}{0.6} \approx 0.917$

3. 最終的な答え

(1) $a=2$, $b=2$

(2) $\bar{y}=3$

(3) $r = 0.917$