変数 $x$ と $y$ が与えられた4つの観測値を持つ時、 (1) $x$ と $y$ の平均値 $\bar{x}, \bar{y}$ をそれぞれ求めよ。 (2) $x$ と $y$ の分散 $s_x^2, s_y^2$ をそれぞれ求めよ。 (3) $x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を求めよ。 (4) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を $a$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

変数 $x$ と $y$ が与えられた4つの観測値を持つ時、

(1) $x$ と $y$ の平均値 $\bar{x}, \bar{y}$ をそれぞれ求めよ。

(2) $x$ と $y$ の分散 $s_x^2, s_y^2$ をそれぞれ求めよ。

(3) $x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を求めよ。

(4) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を $a$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の計算

平均値は、データの総和をデータの個数で割ったものです。

$\bar{x} = \frac{0 + 1 + a + (a+1)}{4} = \frac{2a + 2}{4} = \frac{a+1}{2}$

$\bar{y} = \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 分散の計算

分散は、各データと平均値の差の二乗の平均です。

$s_x^2 = \frac{(0 - \bar{x})^2 + (1 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2 + (a+1 - \bar{x})^2}{4}$

$s_x^2 = \frac{(0 - \frac{a+1}{2})^2 + (1 - \frac{a+1}{2})^2 + (a - \frac{a+1}{2})^2 + (a+1 - \frac{a+1}{2})^2}{4}$

$s_x^2 = \frac{(\frac{a+1}{2})^2 + (\frac{1-a}{2})^2 + (\frac{a-1}{2})^2 + (\frac{a+1}{2})^2}{4}$

$s_x^2 = \frac{(a+1)^2 + (1-a)^2 + (a-1)^2 + (a+1)^2}{16}$

$s_x^2 = \frac{2(a^2 + 2a + 1) + 2(a^2 - 2a + 1)}{16} = \frac{4a^2 + 4}{16} = \frac{a^2 + 1}{4}$

$s_y^2 = \frac{(0 - \bar{y})^2 + (0 - \bar{y})^2 + (1 - \bar{y})^2 + (1 - \bar{y})^2}{4}$

$s_y^2 = \frac{2(0 - \frac{1}{2})^2 + 2(1 - \frac{1}{2})^2}{4} = \frac{2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{4})}{4} = \frac{1}{4}$

(3) 共分散の計算

共分散は、各データにおける $x$ と $y$ の偏差の積の平均です。

$s_{xy} = \frac{(0-\bar{x})(0-\bar{y}) + (1-\bar{x})(0-\bar{y}) + (a-\bar{x})(1-\bar{y}) + (a+1-\bar{x})(1-\bar{y})}{4}$

$s_{xy} = \frac{(0-\frac{a+1}{2})(0-\frac{1}{2}) + (1-\frac{a+1}{2})(0-\frac{1}{2}) + (a-\frac{a+1}{2})(1-\frac{1}{2}) + (a+1-\frac{a+1}{2})(1-\frac{1}{2})}{4}$

$s_{xy} = \frac{0 + 0 + \frac{a-1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{a+1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{4}$

$s_{xy} = \frac{\frac{a-1}{4} + \frac{a+1}{4}}{4} = \frac{\frac{2a}{4}}{4} = \frac{a}{8}$

(4) 相関係数の計算

相関係数は、共分散を $x$ と $y$ の標準偏差の積で割ったものです。標準偏差は分散の平方根です。

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{s_{xy}}{\sqrt{s_x^2} \sqrt{s_y^2}}$

$r = \frac{\frac{a}{8}}{\sqrt{\frac{a^2+1}{4}} \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{\frac{a}{8}}{\frac{\sqrt{a^2+1}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{a}{8}}{\frac{\sqrt{a^2+1}}{4}} = \frac{a}{8} \cdot \frac{4}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{a}{2\sqrt{a^2+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{x} = \frac{a+1}{2}$, $\bar{y} = \frac{1}{2}$

(2) $s_x^2 = \frac{a^2+1}{4}$, $s_y^2 = \frac{1}{4}$

(3) $s_{xy} = \frac{a}{8}$

(4) $r = \frac{a}{2\sqrt{a^2+1}}$