問題は、ある母集団からサンプリングされた標本に基づいて、母平均 $\mu$ に関する信頼係数0.95の信頼区間を求める問題です。 (1) 母集団が $N(\mu, 1.60)$ に従うとき、標本平均 $\bar{x} = 2.00$ である場合の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めます。 (2) 母集団が $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、標本平均 $\bar{x} = 2.00$、標本分散 $s^2 = 1.60$ である場合の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めます。サンプルサイズは81です。

1. 問題の内容

問題は、ある母集団からサンプリングされた標本に基づいて、母平均 $\mu$ に関する信頼係数0.95の信頼区間を求める問題です。

(1) 母集団が $N(\mu, 1.60)$ に従うとき、標本平均 $\bar{x} = 2.00$ である場合の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めます。

(2) 母集団が $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、標本平均 $\bar{x} = 2.00$、標本分散 $s^2 = 1.60$ である場合の母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求めます。サンプルサイズは81です。

2. 解き方の手順

(1) 母集団の分散が既知の場合の母平均の信頼区間を求めます。

信頼区間は次の式で計算できます。

$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$\sigma^2$ は母分散、$n$ はサンプルサイズ、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ パーセント点です。信頼係数が0.95なので、$\alpha = 0.05$ となり、$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$ です。

与えられた値: $\bar{x} = 2.00$, $\sigma^2 = 1.60$, $n = 81$

したがって、$\sigma = \sqrt{1.60} = 1.2649$

信頼区間は、

$$2.00 \pm 1.96 \frac{1.2649}{\sqrt{81}}$$

$$2.00 \pm 1.96 \frac{1.2649}{9}$$

$$2.00 \pm 1.96 \times 0.1405$$

$$2.00 \pm 0.275$$

したがって、信頼区間は $(2.00 - 0.275, 2.00 + 0.275) = (1.725, 2.275)$

(2) 母集団の分散が未知の場合の母平均の信頼区間を求めます。標本分散 $s^2$ を用いて計算します。

信頼区間は次の式で計算できます。

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$$

ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$s^2$ は標本分散、$n$ はサンプルサイズ、$t_{\alpha/2, n-1}$ は自由度 $n-1$ のt分布の上側 $\alpha/2$ パーセント点です。信頼係数が0.95なので、$\alpha = 0.05$ となり、自由度は $n-1 = 81 - 1 = 80$ です。$t_{0.025, 80} \approx 1.990$ です。

与えられた値: $\bar{x} = 2.00$, $s^2 = 1.60$, $n = 81$

したがって、$s = \sqrt{1.60} = 1.2649$

信頼区間は、

$$2.00 \pm 1.990 \frac{1.2649}{\sqrt{81}}$$

$$2.00 \pm 1.990 \frac{1.2649}{9}$$

$$2.00 \pm 1.990 \times 0.1405$$

$$2.00 \pm 0.2796$$

したがって、信頼区間は $(2.00 - 0.2796, 2.00 + 0.2796) = (1.720, 2.280)$

3. 最終的な答え

(1) 母平均 $\mu$ の95%信頼区間は $(1.725, 2.275)$ です。

(2) 母平均 $\mu$ の95%信頼区間は $(1.720, 2.280)$ です。