(1) 正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う母集団があり、母分散 $\sigma^2 = 4.00$ は既知である。この母集団から無作為に 64 個の標本を抽出した結果、標本平均 $\bar{x} = 3.10$ であった。帰無仮説 $H_0: \mu = 5$ と対立仮説 $H_1: \mu \neq 5$ の検定を、有意水準 1% で行う。（両側検定） (2) ある世論調査によると、内閣支持率は 16% であった。この調査は無作為に抽出した有権者 500 人を対象に行われた。過去の内閣の例からは、一般に支持率が 20% を下回ると「退陣水域」と言われている。標本調査に伴う誤差を考慮しても、内閣支持率は 20% を割ったと言えるだろうか？ 有意水準 1% で検定せよ。（片側検定）

1. 問題の内容

(1) 正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う母集団があり、母分散 $\sigma^2 = 4.00$ は既知である。この母集団から無作為に 64 個の標本を抽出した結果、標本平均 $\bar{x} = 3.10$ であった。帰無仮説 $H_0: \mu = 5$ と対立仮説 $H_1: \mu \neq 5$ の検定を、有意水準 1% で行う。（両側検定）

(2) ある世論調査によると、内閣支持率は 16% であった。この調査は無作為に抽出した有権者 500 人を対象に行われた。過去の内閣の例からは、一般に支持率が 20% を下回ると「退陣水域」と言われている。標本調査に伴う誤差を考慮しても、内閣支持率は 20% を割ったと言えるだろうか？ 有意水準 1% で検定せよ。（片側検定）

2. 解き方の手順

(1)

* 帰無仮説 $H_0: \mu = 5$

* 対立仮説 $H_1: \mu \neq 5$

* 有意水準 $\alpha = 0.01$

* 標本平均 $\bar{x} = 3.10$

* 標本数 $n = 64$

* 母分散 $\sigma^2 = 4.00$

* 標準偏差 $\sigma = \sqrt{4.00} = 2.00$

検定統計量 $z$ は以下のように計算される。

$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{3.10 - 5}{2.00 / \sqrt{64}} = \frac{-1.9}{2.00 / 8} = \frac{-1.9}{0.25} = -7.6$

両側検定なので、有意水準 1% の棄却域は $z < -z_{\alpha/2}$ または $z > z_{\alpha/2}$。$z_{\alpha/2} = z_{0.005} \approx 2.576$ である。

$|z| = |-7.6| = 7.6 > 2.576$ なので、帰無仮説は棄却される。

(2)

* 帰無仮説 $H_0: p = 0.20$

* 対立仮説 $H_1: p < 0.20$

* 有意水準 $\alpha = 0.01$

* 標本支持率 $\hat{p} = 0.16$

* 標本数 $n = 500$

検定統計量 $z$ は以下のように計算される。

$z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} = \frac{0.16 - 0.20}{\sqrt{\frac{0.20(1-0.20)}{500}}} = \frac{-0.04}{\sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{500}}} = \frac{-0.04}{\sqrt{\frac{0.16}{500}}} = \frac{-0.04}{\sqrt{0.00032}} = \frac{-0.04}{0.0178885} \approx -2.236$

片側検定なので、有意水準 1% の棄却域は $z < -z_{\alpha}$。$z_{\alpha} = z_{0.01} \approx 2.326$ である。

$z = -2.236 > -2.326$ なので、帰無仮説は棄却されない。

3. 最終的な答え

(1) 帰無仮説は棄却される。つまり、母平均 $\mu$ は 5 と異なると結論付けられる。

(2) 帰無仮説は棄却されない。つまり、内閣支持率が 20% を割ったとは言えない。