20本のくじの中に5本の当たりくじがある。この中から一度に3本引いたとき、当たりくじの本数の期待値を求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に5本の当たりくじがある。この中から一度に3本引いたとき、当たりくじの本数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

期待値は、それぞれの当たりくじの本数($k$)に対して、その本数となる確率($P(k)$)をかけたものの総和で計算されます。

期待値$E(X)$は、次のように表されます。

$E(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X=k)$

ここで、$P(X=k)$は、3本引いたうち当たりくじが$k$本である確率を表します。

$k=0, 1, 2, 3$の場合の確率をそれぞれ計算します。

* $k=0$ (3本ともはずれ):

$P(X=0) = \frac{{}_{15}C_3}{{}_{20}C_3} = \frac{455}{1140}$

* $k=1$ (当たり1本、はずれ2本):

$P(X=1) = \frac{{}_5C_1 \cdot {}_{15}C_2}{{}_{20}C_3} = \frac{5 \cdot 105}{1140} = \frac{525}{1140}$

* $k=2$ (当たり2本、はずれ1本):

$P(X=2) = \frac{{}_5C_2 \cdot {}_{15}C_1}{{}_{20}C_3} = \frac{10 \cdot 15}{1140} = \frac{150}{1140}$

* $k=3$ (3本とも当たり):

$P(X=3) = \frac{{}_5C_3}{{}_{20}C_3} = \frac{10}{1140}$

したがって、期待値は

$E(X) = 0 \cdot \frac{455}{1140} + 1 \cdot \frac{525}{1140} + 2 \cdot \frac{150}{1140} + 3 \cdot \frac{10}{1140}$

$E(X) = \frac{525 + 300 + 30}{1140} = \frac{855}{1140} = \frac{171}{228} = \frac{57}{76} = \frac{3}{4}$

または、期待値の線形性を用いることもできます。3本のくじを引くとき、1本のくじが当たりである確率が$\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$なので、3本のくじにおける当たりくじの期待値は、$3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$となります。

3. 最終的な答え

3/4 本