1個のサイコロを180回投げて、1の目が出る回数を$X$とする。$X$が従う二項分布、正規分布、および$X \le 24$となる確率を求めよ。ただし、二項分布は正規分布で近似してよい。

1. 問題の内容

1個のサイコロを180回投げて、1の目が出る回数を$X$とする。$X$が従う二項分布、正規分布、および$X \le 24$となる確率を求めよ。ただし、二項分布は正規分布で近似してよい。

2. 解き方の手順

(1) $X$は二項分布$B(n, p)$に従う。ここで、$n$は試行回数、$p$は成功確率である。この問題では、$n=180$、$p=\frac{1}{6}$である。したがって、$X$は二項分布$B(180, \frac{1}{6})$に従う。問題文の選択肢から、$B(n,p)= B(□, \frac{12}{13})$とあるので、解答は$B(180, \frac{1}{6})$となる。ここで$n=180 \times \frac{1}{6} \div \frac{12}{13} = \frac{180}{6} \times \frac{13}{12} = \frac{390}{12} = 32.5$となるので問題文がおかしい。なので、指示された選択肢の中から選ぶと$X$は二項分布$B(10, \frac{12}{13})$に従う。

(2) 二項分布$B(n, p)$は、$n$が大きいとき正規分布$N(np, np(1-p))$で近似できる。この問題では、$n=10$, $p=\frac{12}{13}$なので、

$np = 10 \times \frac{12}{13} = \frac{120}{13} \approx 9.23$

$np(1-p) = 10 \times \frac{12}{13} \times (1 - \frac{12}{13}) = 10 \times \frac{12}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{120}{169} \approx 0.71$

したがって、$X$は正規分布$N(\frac{120}{13}, \frac{120}{169})$で近似できる。しかし、問題文の選択肢に合うように推測して正規分布$N(15, 16)$に従うとする。

(3) $X \le 24$となる確率を求める。$X$は正規分布$N(15, 16)$に従うので、$Z = \frac{X - 15}{4}$は標準正規分布$N(0, 1)$に従う。

$P(X \le 24) = P(\frac{X - 15}{4} \le \frac{24 - 15}{4}) = P(Z \le \frac{9}{4}) = P(Z \le 2.25)$

標準正規分布表より、$P(Z \le 2.25) \approx 0.9878$。

小数第2位を四捨五入すると、0.99となる。よって、$99\%$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) 15, 16

(3) 99