バスケットボールのフリースローの練習において、1投ごとの成功確率が0.8である。10投成功したら練習を終了するとき、終了時点で失敗が3投以上である確率を求める。

1. 問題の内容

バスケットボールのフリースローの練習において、1投ごとの成功確率が0.8である。10投成功したら練習を終了するとき、終了時点で失敗が3投以上である確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は、負の二項分布を用いて解くことができます。負の二項分布は、成功するまで試行を繰り返す場合に、特定の回数失敗する確率を求める際に用いられます。

まず、問題文から以下の情報が得られます。

* 成功確率 $p = 0.8$

* 失敗確率 $q = 1 - p = 0.2$

* 成功回数 $r = 10$

求めたいのは、10回成功するまでに3回以上失敗する確率です。これは、合計で13回以上試行を行う確率と言い換えることができます。

$X$を失敗の回数とすると、$X \geq 3$となる確率を求めます。

負の二項分布の確率質量関数は以下のようになります。

$P(X=k) = \binom{k+r-1}{k} p^r (1-p)^k$

ここで、$k$は失敗回数、$r$は成功回数、$p$は成功確率です。

$P(X \geq 3)$を直接計算するのは難しいので、余事象を利用します。

$P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

それぞれの確率を計算します。

$P(X=0) = \binom{0+10-1}{0} (0.8)^{10} (0.2)^{0} = \binom{9}{0} (0.8)^{10} = 1 \times (0.8)^{10} \approx 0.10737$

$P(X=1) = \binom{1+10-1}{1} (0.8)^{10} (0.2)^{1} = \binom{10}{1} (0.8)^{10} (0.2) = 10 \times (0.8)^{10} \times 0.2 \approx 0.21474$

$P(X=2) = \binom{2+10-1}{2} (0.8)^{10} (0.2)^{2} = \binom{11}{2} (0.8)^{10} (0.2)^{2} = 55 \times (0.8)^{10} \times 0.04 \approx 0.23621$

したがって、$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.10737 + 0.21474 + 0.23621 \approx 0.55832$

$P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - 0.55832 \approx 0.44168$

3. 最終的な答え

使用した基本確率分布：負の二項分布

求める確率は約0.442です。