原点から出発し、サイコロを5回振る。4以下が出れば+2、5以上が出れば-1進むとき、最終的に座標が1になる確率を求めよ。

## 問題(9) の解答

1. 問題の内容

原点から出発し、サイコロを5回振る。4以下が出れば+2、5以上が出れば-1進むとき、最終的に座標が1になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

サイコロを5回振って座標が1になるためには、4以下の目が出た回数を $x$ 回、5以上の目が出た回数を $y$ 回とすると、以下の式が成り立つ必要があります。

$2x - y = 1$

$x + y = 5$

上記の連立方程式を解くと、

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 3$

つまり、4以下の目が2回、5以上の目が3回出れば良い。

サイコロの4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

5回のうち4以下の目が2回出る組み合わせは、二項定理より ${}_5 \mathrm{C}_2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$ 通りあります。

したがって、求める確率は以下のようになります。

$10 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$