AとBがそれぞれサイコロを1つずつ投げ、出た目の和が4以下ならAの勝ち、そうでなければBの勝ちとなるゲームを行う。先に3勝した方を優勝とするとき、4回目にAの優勝が決まる確率を求める。

1. 問題の内容

AとBがそれぞれサイコロを1つずつ投げ、出た目の和が4以下ならAの勝ち、そうでなければBの勝ちとなるゲームを行う。先に3勝した方を優勝とするとき、4回目にAの優勝が決まる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回のゲームでAが勝つ確率を計算する。

2つのサイコロの目の和が4以下になるのは、(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2) の6通り。

サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りなので、Aが勝つ確率は $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ 。

したがって、Bが勝つ確率は $1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ 。

4回目にAが優勝するには、3回目までにAが2勝し、4回目にAが勝つ必要がある。

3回目までにAが2勝する確率は、二項分布に従い、

${}_{3}C_{2} \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$ 。

4回目にAが勝つ確率は $\frac{1}{6}$ なので、4回目にAが優勝する確率は、

$\frac{15}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{15}{1296} = \frac{5}{432}$ 。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{432}$