点Pは数直線上の原点から出発する。サイコロを5回投げ、4以下の目が出たら+2、5以上の目が出たら-1だけ動くとき、5回投げた後に点Pの座標がちょうど1になる確率を求める。

1. 問題の内容

点Pは数直線上の原点から出発する。サイコロを5回投げ、4以下の目が出たら+2、5以上の目が出たら-1だけ動くとき、5回投げた後に点Pの座標がちょうど1になる確率を求める。

2. 解き方の手順

サイコロを5回投げて座標が1になるためには、4以下の目が$x$回、5以上の目が$y$回出たとすると、

$x + y = 5$

$2x - y = 1$

という2つの式が成り立つ必要がある。

この連立方程式を解くと、

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 3$

したがって、4以下の目が2回、5以上の目が3回出る必要がある。

4以下の目が出る確率は $3/6 = 1/2$ であり、5以上の目が出る確率も $3/6 = 1/2$ である。

5回の試行で4以下の目が2回、5以上の目が3回出る確率は、二項定理を用いて計算できる。

確率は

$_{5}C_{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{5!}{2!3!} (\frac{1}{2})^5 = \frac{5 \times 4}{2} \times \frac{1}{32} = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16}$