10人の生徒のうち3人が宿題を忘れた。この10人の中から2人を無作為に選ぶとき、選ばれた2人の中に宿題を忘れた生徒が含まれている人数の期待値を求める。

1. 問題の内容

10人の生徒のうち3人が宿題を忘れた。この10人の中から2人を無作為に選ぶとき、選ばれた2人の中に宿題を忘れた生徒が含まれている人数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

宿題を忘れた生徒の人数を確率変数 $X$ とする。$X$ が取りうる値は0, 1, 2である。

$X = 0$ となる確率、$X = 1$ となる確率、$X = 2$ となる確率をそれぞれ計算する。

10人から2人を選ぶ総数は $_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通りである。

* $X = 0$ のとき：

宿題を忘れていない7人から2人を選ぶ。その場合の数は $_{7}C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

よって、$P(X=0) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

* $X = 1$ のとき：

宿題を忘れた3人から1人を選び、宿題を忘れていない7人から1人を選ぶ。その場合の数は $_{3}C_1 \times _{7}C_1 = 3 \times 7 = 21$ 通り。

よって、$P(X=1) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

* $X = 2$ のとき：

宿題を忘れた3人から2人を選ぶ。その場合の数は $_{3}C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

よって、$P(X=2) = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

$= 0 \times \frac{7}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{1}{15}$

$= 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15}$

$= \frac{9}{15}$

$= \frac{3}{5}$

別の考え方として、線形性を使う方法もある。

2人を選ぶとき、1人目に選ばれた人が宿題を忘れている確率は $\frac{3}{10}$。

2人目に選ばれた人が宿題を忘れている確率は $\frac{3}{10}$。

したがって、宿題を忘れている人数の期待値は

$E(X) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$