A社とB社が同じ製品を製造しており、A社は全製品の60%、B社は全製品の40%を生産している。A社の製品には3%の不良品、B社の製品には6%の不良品が混じっている。全製品から1つ取り出したとき、(a)それが不良品である確率、(b)不良品であったときに、それがA社の製品である確率を求める。

1. 問題の内容

A社とB社が同じ製品を製造しており、A社は全製品の60%、B社は全製品の40%を生産している。A社の製品には3%の不良品、B社の製品には6%の不良品が混じっている。全製品から1つ取り出したとき、(a)それが不良品である確率、(b)不良品であったときに、それがA社の製品である確率を求める。

2. 解き方の手順

(a) 不良品である確率を求める。

全製品から取り出したものが不良品である確率は、A社の製品が不良品である確率とB社の製品が不良品である確率の和で求められる。

A社の製品である確率 * A社の製品が不良品である確率 + B社の製品である確率 * B社の製品が不良品である確率

$P(不良品) = P(A社の製品) \times P(不良品|A社の製品) + P(B社の製品) \times P(不良品|B社の製品)$

$P(A社の製品) = 0.6$

$P(B社の製品) = 0.4$

$P(不良品|A社の製品) = 0.03$

$P(不良品|B社の製品) = 0.06$

$P(不良品) = 0.6 \times 0.03 + 0.4 \times 0.06$

$P(不良品) = 0.018 + 0.024$

$P(不良品) = 0.042$

(b) 不良品であったときに、それがA社の製品である確率を求める。

これは条件付き確率の問題であり、ベイズの定理を用いる。

$P(A社の製品|不良品) = \frac{P(不良品|A社の製品) \times P(A社の製品)}{P(不良品)}$

$P(A社の製品|不良品) = \frac{0.03 \times 0.6}{0.042}$

$P(A社の製品|不良品) = \frac{0.018}{0.042}$

$P(A社の製品|不良品) = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(a) 不良品である確率は、0.042

(b) 不良品であったときに、それがA社の製品である確率は、$\frac{3}{7}$