点Pが数直線上の原点Oから出発し、サイコロを5回振ります。4以下の目が出たら+2、5以上の目が出たら-1移動します。5回サイコロを振った後、点Pの座標が1となる確率を求めます。

## 問題9

1. 問題の内容

点Pが数直線上の原点Oから出発し、サイコロを5回振ります。4以下の目が出たら+2、5以上の目が出たら-1移動します。5回サイコロを振った後、点Pの座標が1となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、4以下の目が出る確率と5以上の目が出る確率を求めます。

サイコロの目は1から6まであり、4以下は1,2,3,4の4通り、5以上は5,6の2通りです。

したがって、4以下の目が出る確率は $4/6 = 2/3$、5以上の目が出る確率は $2/6 = 1/3$となります。

次に、5回サイコロを振って点Pの座標が1になるパターンを考えます。

4以下の目が $x$ 回、5以上の目が $y$ 回出た場合、点Pの座標は $2x - y$ となります。

したがって、$2x - y = 1$ かつ $x + y = 5$ を満たす $x$ と $y$ を求める必要があります。

この連立方程式を解くと、

$x + y = 5$より、$y = 5 - x$。

$2x - (5 - x) = 1$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 3$

となります。つまり、4以下の目が2回、5以上の目が3回出る必要があります。

最後に、4以下の目が2回、5以上の目が3回出る確率を計算します。

これは二項分布に従います。

確率は

$$$$

\binom{5}{2} \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = 10 \cdot \frac{4}{243} = \frac{40}{243}

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$