20人の生徒が5点満点の小テストを2回受けました。1回目の得点を $x$ 点、2回目の得点を $y$ 点とします。表は、$x$ と $y$ の得点ごとの人数を表しています。$x$ の平均値は3です。問題は、表の $a$ と $b$ の値を求め、$y$ の平均値を求め、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めることです。

1. 問題の内容

20人の生徒が5点満点の小テストを2回受けました。1回目の得点を $x$ 点、2回目の得点を $y$ 点とします。表は、$x$ と $y$ の得点ごとの人数を表しています。$x$ の平均値は3です。問題は、表の $a$ と $b$ の値を求め、$y$ の平均値を求め、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

$x$ の平均値が3であるという条件と、生徒の総数が20人であるという条件から、$a$ と $b$ の値を求めます。

$x$ の平均値は、$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ で計算できます。

表から、$x$ の合計は $0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 11 + 4 \cdot (b+2) + 5 \cdot a$ です。

$x$ の平均値は3なので、

$\frac{1 + 8 + 33 + 4(b+2) + 5a}{20} = 3$

$1 + 8 + 33 + 4b + 8 + 5a = 60$

$5a + 4b = 10$

生徒の総数は20人なので、

$0 + 1 + 4 + 11 + (b+2) + a = 20$

$18 + a + b = 20$

$a + b = 2$

連立方程式

$5a + 4b = 10$

$a + b = 2$

を解きます。

$a = 2-b$を代入すると

$5(2-b) + 4b = 10$

$10 - 5b + 4b = 10$

$-b = 0$

$b=0$

$a = 2 - b = 2$

(2) $y$ の平均値を求める。

$y$ の平均値は、$\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n}$ で計算できます。

表から、$y$ の合計は $2 \cdot 4 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 8+30+8+10 = 56$ です。

したがって、$y$ の平均値は $\bar{y} = \frac{56}{20} = \frac{14}{5} = 2.8$です。

(3) $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求める。

$x$ の分散 $s_x^2$、 $y$ の分散 $s_y^2$、 $x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を計算する必要があります。

$\bar{x} = 3$

$\bar{y} = 2.8$

$s_x^2 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{20}((0-3)^2*0 + (1-3)^2*1 + (2-3)^2*4 + (3-3)^2*11 + (4-3)^2*2 + (5-3)^2*2) = \frac{1}{20}(0+4+4+0+2+8) = \frac{18}{20} = 0.9$

$s_y^2 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{20}((2-2.8)^2*4 + (3-2.8)^2*10 + (4-2.8)^2*2 + (5-2.8)^2*2) = \frac{1}{20}(0.64*4 + 0.04*10 + 1.44*2 + 4.84*2) = \frac{1}{20}(2.56+0.4+2.88+9.68) = \frac{15.52}{20} = 0.776$

$s_{xy} = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{20} ((2-3)(4-2.8)*1 + (3-3)(3-2.8)*9 + (4-3)(4-2.8)*2 + (5-3)(4-2.8)*0 + (2-3)(2-2.8)*3 + (1-3)(2-2.8)*1 + (3-3)(2-2.8)*0) = \frac{1}{20} ((2-3)(3-2.8)*1 + (3-3)(4-2.8)*9 + (4-3)(3-2.8)*2 + (5-3)(3-2.8)*0) + (-1)(-0.8)*3+(-2)(-0.8)*1 = \frac{1}{20} ((0*9)+(0*2)+0.8*3+1.6*1) +(-0.2)+0.0)+1(1.2)+2(2.2)) = \frac{1}{20}(0.2+0.8*0) = \frac{18}{20}=\frac{22}{20}= +5.66/2

r = \frac{s_{xy}}{s_x * s_y}$

$s_{xy} = \frac{1}{20}[ (2-3)(3-2.8)*1+ (4-3)(4-2.8)2+ (5-3)(4-2.8)2]+(1-3)(2-2.8)*1+(2-3)(2-2.8)*3+ (3-3)(0)/ = 0+(8)/2(0)+(8)]*)$

相関係数が分かりません。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = 0$

(2) $\bar{y} = 2.8$

(3) 相関係数は計算できません。