20人の生徒に5点満点の小テストを2回行った。1回目の得点を$x$点、2回目の得点を$y$点とする。その結果が表で与えられている。$x$の平均値は3である。表の$a$と$b$に入る人数を求め、$y$の平均値$\bar{y}$を求め、$x$と$y$の相関係数$r$を求める問題。

1. 問題の内容

20人の生徒に5点満点の小テストを2回行った。1回目の得点を$x$点、2回目の得点を$y$点とする。その結果が表で与えられている。$x$の平均値は3である。表の$a$と$b$に入る人数を求め、$y$の平均値$\bar{y}$を求め、$x$と$y$の相関係数$r$を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $a$と$b$を求める。

まず、$x$の平均値が3であることから、$x$の合計点を求める。

$x$の合計点は$3 \times 20 = 60$点である。

次に、表から$x$の合計点を式で表す。

$0 \times (0) + 1 \times (1+3) + 2 \times (1+3) + 3 \times (2+9+b) + 4 \times (0+b) + 5 \times (a) = 60$

$0 + 4 + 8 + 33 + 3b + 4b + 5a = 60$

$45 + 7b + 5a = 60$

$7b + 5a = 15$

また、生徒の合計人数が20人であることから、

$0 + (1+3) + (1+3) + (2+9+b) + (b+a) = 20$

$1+1+1+3+2+9+b+a=20$

$20 - a -b -1 -1 -3-2 -9 = 0$

$17 + a +b = 20$

$a+b=3$

よって、$a=3-b$

$7b + 5(3-b) = 15$

$7b + 15 - 5b = 15$

$2b = 0$

$b = 0$

$a = 3-b = 3-0 = 3$

(2) $y$の平均値$\bar{y}$を求める。

$y$の合計点を求める。

$5 \times (0) + 4 \times (2+a) + 3 \times (1+9+b) + 2 \times (1+3) + 1 \times (0) + 0 \times (0) = 0+4(2+3)+3(10)+2(4) = 20+30+8 = 58$

$\bar{y} = \frac{58}{20} = \frac{29}{10} = 2.9$

(3) $x$と$y$の相関係数$r$を求める。

まず、$x$の分散$s_x^2$を求める。$\bar{x}=3$

$s_x^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - 3)^2$

$s_x^2 = \frac{1}{20}[ (0-3)^2 (0) + (1-3)^2 (1+3) + (2-3)^2 (1+3) + (3-3)^2 (2+9+0) + (4-3)^2 (0+0) + (5-3)^2 (3) ]$

$s_x^2 = \frac{1}{20} [0 + 4(4) + 1(4) + 0 + 1(0) + 4(3)] = \frac{1}{20} [16+4+12] = \frac{32}{20} = \frac{8}{5} = 1.6$

$s_x = \sqrt{1.6} = \sqrt{\frac{8}{5}}$

次に、$y$の分散$s_y^2$を求める。$\bar{y} = 2.9$

$s_y^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (y_i - 2.9)^2$

$s_y^2 = \frac{1}{20}[ (5-2.9)^2 (0) + (4-2.9)^2 (2+3) + (3-2.9)^2 (1+9+0) + (2-2.9)^2 (1+3) + (1-2.9)^2 (0) + (0-2.9)^2 (0) ]$

$s_y^2 = \frac{1}{20} [0 + (1.1)^2 (5) + (0.1)^2 (10) + (-0.9)^2 (4) + 0+0 ]$

$s_y^2 = \frac{1}{20} [1.21(5) + 0.01(10) + 0.81(4)] = \frac{1}{20} [6.05 + 0.1 + 3.24] = \frac{9.39}{20} = 0.4695$

$s_y = \sqrt{0.4695} \approx 0.685$

次に、$x$と$y$の共分散$s_{xy}$を求める。

$s_{xy} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - 3)(y_i - 2.9)$

$s_{xy} = \frac{1}{20} [ (0-3)(5-2.9)(0) + (0-3)(4-2.9)(0) + (0-3)(3-2.9)(0) + (0-3)(2-2.9)(0) + (0-3)(1-2.9)(0) + (0-3)(0-2.9)(0) + ... + (5-3)(4-2.9)(3)]$

$s_{xy} = \frac{1}{20} [ (1-3)(2-2.9)(1) + (2-3)(3-2.9)(1) + (3-3)(4-2.9)(2) + (3-3)(3-2.9)(9) + (4-3)(4-2.9)(0) + (5-3)(4-2.9)(3) ]$

$s_{xy} = \frac{1}{20} [ (-2)(-0.9)(1) + (-1)(0.1)(1) + (0)(1.1)(2) + (0)(0.1)(9) + (1)(1.1)(0) + (2)(1.1)(3) ]$

$s_{xy} = \frac{1}{20} [1.8 - 0.1 + 0 + 0 + 0 + 6.6 ] = \frac{1}{20} [8.3] = 0.415$

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{0.415}{\sqrt{1.6} \sqrt{0.4695}} = \frac{0.415}{\sqrt{0.7512}} = \frac{0.415}{0.8667} \approx 0.478$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=0$

(2) $\bar{y}=2.9$

(3) $r \approx 0.479$