1個のサイコロを5回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 奇数の目がちょうど4回出る確率 (2) 3の倍数の目がちょうど3回出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 奇数の目がちょうど4回出る確率

(2) 3の倍数の目がちょうど3回出る確率

2. 解き方の手順

(1) 奇数の目がちょうど4回出る確率

1回の試行で奇数の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。

5回の試行のうち、奇数の目が4回出る確率は、二項分布に従います。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=5, k=4, p=\frac{1}{2}$ なので、

$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{5-4} = 5 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^1 = 5 (\frac{1}{2})^5 = \frac{5}{32}$

(2) 3の倍数の目がちょうど3回出る確率

1回の試行で3の倍数の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

5回の試行のうち、3の倍数の目が3回出る確率は、二項分布に従います。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=5, k=3, p=\frac{1}{3}$ なので、

$P(X=3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^{5-3} = 10 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2 = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

(1) 奇数の目がちょうど4回出る確率は $\frac{5}{32}$

(2) 3の倍数の目がちょうど3回出る確率は $\frac{40}{243}$