袋の中に白玉が2個、黒玉が3個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した白玉の個数を確率変数 $X$ とする。$X$ の分散を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が2個、黒玉が3個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、取り出した白玉の個数を確率変数 $X$ とする。$X$ の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X$ の取りうる値を考える。2個の玉を取り出すので、$X$ は0, 1, 2のいずれかの値をとる。

(2) 各 $X$ の値に対する確率を計算する。袋の中には全部で5個の玉が入っており、そこから2個を取り出すので、取り出し方は ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りある。

* $X=0$ のとき（2個とも黒玉）：黒玉3個から2個を選ぶので、${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。確率は $P(X=0) = \frac{3}{10}$。

* $X=1$ のとき（白玉1個、黒玉1個）：白玉2個から1個、黒玉3個から1個を選ぶので、${}_2C_1 \times {}_3C_1 = 2 \times 3 = 6$ 通り。確率は $P(X=1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

* $X=2$ のとき（2個とも白玉）：白玉2個から2個を選ぶので、${}_2C_2 = 1$ 通り。確率は $P(X=2) = \frac{1}{10}$。

(3) $X$ の期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{3}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(4) $X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算する。

$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 \times \frac{3}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

(5) $X$ の分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

3. 最終的な答え

$X$ の分散は $\frac{9}{25}$ である。