大小中3つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が9になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が9になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

大小中3つのサイコロの出目をそれぞれ$x, y, z$とします。

$x, y, z$ はそれぞれ1から6までの整数です。

求める場合の数は、$x + y + z = 9$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数です。

ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ である必要があります。

まず、$x, y, z \ge 1$ という条件を考慮して、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \ge 0$ であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9$

$x' + y' + z' = 6$

この非負整数の組 $(x', y', z')$ の個数は、重複組み合わせの公式より ${}_{3}H_{6} = {}_{3+6-1}C_{6} = {}_{8}C_{6} = {}_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通りです。

次に、$x, y, z \le 6$ という条件を考慮します。$x, y, z$ のいずれかが7以上になることはありません。なぜなら、他の2つのサイコロの出目は最低でも1であるため、3つのサイコロの出目の和は7 + 1 + 1 = 9 となり、いずれかの出目が7以上になるのは (7, 1, 1), (1, 7, 1), (1, 1, 7) の3通りです。そして、同様に、いずれかの出目が8以上になるのは (8, 1, 0), (1, 8, 0), (1, 0, 8), (8, 0, 1), (0, 8, 1), (0, 1, 8) のような場合ですが、$x,y,z$ は 1 から 6 までの整数なのでこれらは全てありえません。よって、いずれかの出目が7以上になる場合を除けばよいです。

$x' \ge 6$ となるのは、$x \ge 7$ となる場合なので、$x' + y' + z' = 6$ で、$x' \ge 6$ となるのは、$x' = 6, y' = 0, z' = 0$ のときのみです。このとき、$x = 7, y = 1, z = 1$ となり、和は 9 になります。

同様に、$y' \ge 6$ となるのは、$y' = 6, x' = 0, z' = 0$ のとき、$y = 7, x = 1, z = 1$ となり、和は 9 になります。

また、$z' \ge 6$ となるのは、$z' = 6, x' = 0, y' = 0$ のとき、$z = 7, x = 1, y = 1$ となり、和は 9 になります。

よって、3つのサイコロの出目がそれぞれ7, 1, 1となる3通りを除けば良いので、$28 - 3 = 25$ 通りです。

しかし、$1 \le x,y,z \le 6$という条件に違反する組み合わせは(7,1,1), (1,7,1), (1,1,7)だけですので、28からこの3つを引けばよいです。したがって、28 - 3 = 25通りではありません。

以下に、(x,y,z)の組み合わせをすべて列挙します。

(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (1,5,3), (1,6,2)

(2,1,6), (2,2,5), (2,3,4), (2,4,3), (2,5,2), (2,6,1)

(3,1,5), (3,2,4), (3,3,3), (3,4,2), (3,5,1)

(4,1,4), (4,2,3), (4,3,2), (4,4,1)

(5,1,3), (5,2,2), (5,3,1)

(6,1,2), (6,2,1)

全部で25通りです。

3. 最終的な答え

25