異なる3つの正の整数 $a, b, c$ があります。科目Xと科目Yの試験を受けた10人の得点が与えられています。科目Xの得点の平均値と科目Yの得点の平均値は等しいです。 (1) 科目Xの得点の分散を $s_x^2$、科目Yの得点の分散を $s_y^2$ とするとき、$\frac{s_x^2}{s_y^2}$ を求めなさい。 (2) 科目Xの得点と科目Yの得点の相関係数を、四捨五入して小数第1位まで求めなさい。 (3) 科目Xの得点の中央値が65、科目Yの得点の標準偏差が11であるとき、$a, b, c$ の組を求めなさい。

1. 問題の内容

異なる3つの正の整数 $a, b, c$ があります。科目Xと科目Yの試験を受けた10人の得点が与えられています。科目Xの得点の平均値と科目Yの得点の平均値は等しいです。

(1) 科目Xの得点の分散を $s_x^2$、科目Yの得点の分散を $s_y^2$ とするとき、$\frac{s_x^2}{s_y^2}$ を求めなさい。

(2) 科目Xの得点と科目Yの得点の相関係数を、四捨五入して小数第1位まで求めなさい。

(3) 科目Xの得点の中央値が65、科目Yの得点の標準偏差が11であるとき、$a, b, c$ の組を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、科目Xと科目Yの平均値を求めます。

科目Xの平均値は $\frac{4a+3b+3c}{10}$ です。

科目Yの平均値は $\frac{3a+6b+c}{10}$ です。

平均値が等しいので、$\frac{4a+3b+3c}{10} = \frac{3a+6b+c}{10}$。

これを整理すると $4a+3b+3c = 3a+6b+c$。

よって $a - 3b + 2c = 0$。したがって $a = 3b - 2c$。

次に、科目Xと科目Yの分散を求めます。

$s_x^2 = \frac{4(a-\bar{x})^2 + 3(b-\bar{x})^2 + 3(c-\bar{x})^2}{10}$

$s_y^2 = \frac{3(a-\bar{y})^2 + 6(b-\bar{y})^2 + (c-\bar{y})^2}{10}$

ただし、$\bar{x} = \bar{y} = \frac{4a+3b+3c}{10} = \frac{3a+6b+c}{10}$

簡単にするために、$a = 3b - 2c$ を利用します。

$\bar{x} = \frac{4(3b-2c)+3b+3c}{10} = \frac{12b-8c+3b+3c}{10} = \frac{15b-5c}{10} = \frac{3b-c}{2}$.

$s_x^2 = \frac{4(3b-2c-\frac{3b-c}{2})^2 + 3(b-\frac{3b-c}{2})^2 + 3(c-\frac{3b-c}{2})^2}{10}$

$s_x^2 = \frac{4(\frac{3b-3c}{2})^2 + 3(\frac{-b+c}{2})^2 + 3(\frac{-3b+3c}{2})^2}{10} = \frac{4\frac{9(b-c)^2}{4} + 3\frac{(b-c)^2}{4} + 3\frac{9(b-c)^2}{4}}{10}$

$s_x^2 = \frac{9(b-c)^2+\frac{3}{4}(b-c)^2+\frac{27}{4}(b-c)^2}{10} = \frac{(36+3+27)(b-c)^2}{40} = \frac{66(b-c)^2}{40} = \frac{33}{20}(b-c)^2$

$\bar{y} = \frac{3a+6b+c}{10} = \frac{3(3b-2c)+6b+c}{10} = \frac{9b-6c+6b+c}{10} = \frac{15b-5c}{10} = \frac{3b-c}{2}$.

$s_y^2 = \frac{3(a-\bar{y})^2 + 6(b-\bar{y})^2 + (c-\bar{y})^2}{10}$

$s_y^2 = \frac{3(3b-2c-\frac{3b-c}{2})^2 + 6(b-\frac{3b-c}{2})^2 + (c-\frac{3b-c}{2})^2}{10} = \frac{3(\frac{3b-3c}{2})^2 + 6(\frac{-b+c}{2})^2 + (\frac{-3b+3c}{2})^2}{10}$

$s_y^2 = \frac{3\frac{9(b-c)^2}{4} + 6\frac{(b-c)^2}{4} + \frac{9(b-c)^2}{4}}{10} = \frac{27(b-c)^2+6(b-c)^2+9(b-c)^2}{40} = \frac{42(b-c)^2}{40} = \frac{21}{20}(b-c)^2$

$\frac{s_x^2}{s_y^2} = \frac{\frac{33}{20}(b-c)^2}{\frac{21}{20}(b-c)^2} = \frac{33}{21} = \frac{11}{7}$.

(2) 相関係数は、$\frac{共分散}{s_x s_y}$ です。

共分散は $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ で計算できます。

共分散$= \frac{1}{10} [ (a-\bar{x})(a-\bar{y}) + (c-\bar{x})(b-\bar{y}) + (a-\bar{x})(b-\bar{y}) + (b-\bar{x})(b-\bar{y}) + (b-\bar{x})(a-\bar{y}) + (a-\bar{x})(a-\bar{y}) + (c-\bar{x})(b-\bar{y}) + (b-\bar{x})(a-\bar{y}) + (c-\bar{x})(b-\bar{y}) + (c-\bar{x})(b-\bar{y}) ]$

共分散$= \frac{1}{10} [ 3(a-\bar{x})(a-\bar{y}) + 4(b-\bar{x})(b-\bar{y}) + 3(c-\bar{x})(b-\bar{y}) ]$

共分散$= \frac{1}{10} [ 3(a-\frac{3b-c}{2})(a-\frac{3b-c}{2}) + 4(b-\frac{3b-c}{2})(b-\frac{3b-c}{2}) + 3(c-\frac{3b-c}{2})(b-\frac{3b-c}{2}) ]$

$a = 3b - 2c$より、$\frac{3(3b-2c-\frac{3b-c}{2})^2+ 4(b-\frac{3b-c}{2})^2 + 3(c-\frac{3b-c}{2})(b-\frac{3b-c}{2})}{10}$

$=\frac{3(\frac{3b-3c}{2})^2+ 4(\frac{-b+c}{2})^2+ 3(\frac{-3b+3c}{2})(\frac{-b+c}{2})}{10}$

$=\frac{3\frac{9(b-c)^2}{4}+ 4\frac{(b-c)^2}{4}+ 3\frac{3(b-c)^2}{4}}{10}$

$=\frac{(27+4+9)(b-c)^2}{40}= \frac{40(b-c)^2}{40} = (b-c)^2$

相関係数 = $\frac{(b-c)^2}{\sqrt{\frac{33(b-c)^2}{20} \frac{21(b-c)^2}{20}}} = \frac{(b-c)^2}{\sqrt{\frac{33 \cdot 21(b-c)^4}{400}}} = \frac{(b-c)^2}{\frac{|b-c|^2}{20}\sqrt{33\cdot 21}} = \frac{20}{\sqrt{693}}$

$\frac{20}{\sqrt{693}} \approx \frac{20}{26.32} \approx 0.76$

(3) 科目Xの得点の中央値が65なので、並び替えた際に中央に来る値が65である。

データは$a, a, a, a, b, b, b, c, c, c$ で、$a, b, c$ は異なる正の整数。

並び替えると、$a, a, a, a, b, b, b, c, c, c$。

並び替えたデータの中央値は、5番目と6番目の平均。

$a < b < c$ or $a > b > c$の可能性がある。

標準偏差が11であるとき、a, b, cの組を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{11}{7}$。選択肢にない。

(2) 0.8

(3) 解なし